Wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen gleich der Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung ist, bedeutet dies, dass die Ereignisse disjunkt sind?

Axiomatisch ist die Wahrscheinlichkeit eine Funktion , die jedem Ereignis A eine reelle Zahl P ( A ) zuweist, wenn sie die drei Grundannahmen erfüllt (Kolmogorovs Annahmen):$P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Meine Frage ist, wird in der letzten Annahme das Gegenteil angenommen? Wenn ich zeige, dass die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Anzahl von Ereignissen addiert werden können, um die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung zu erhalten, kann ich dieses Axiom direkt verwenden, um zu behaupten, dass die Ereignisse disjunkt sind?

Nein, aber Sie können daraus schließen, dass die Wahrscheinlichkeit gemeinsamer Ereignisse Null ist.

$A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

Mit anderen Worten, Sie können mit Wahrscheinlichkeit 1 sagen, dass keine der Mengen zusammen auftreten kann. Ich habe solche Mengen gesehen, die als fast disjunkt oder fast sicher disjunkt bezeichnet werden, aber eine solche Terminologie ist meiner Meinung nach kein Standard.

Betrachten Sie zum Beispiel nicht wirklich die gleichmäßige Verteilung.

$A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

$P(A_1)=0.5$$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

$0$