Man könnte eine Monte-Carlo-Methode verwenden, um empirische Schätzungen für Beziehungen zwischen und dem Vorhersageintervall für .x1....xixi+n
Motivation: Wenn wir das Vorhersageintervall basierend auf den Quartilen / CDF einer Verteilung schätzen, die sich aus Schätzungen der maximalen Wahrscheinlichkeit (oder anderen Arten von Parameterschätzungen) ergibt, unterschätzen wir die Größe des Intervalls. In der Praxis fällt der Punkt tatsächlich häufiger als vorhergesagt aus dem Bereich heraus.xi+n
Die folgende Abbildung zeigt, um wie viel wir die Größe des Intervalls unterschätzen, indem wir ausdrücken, wie oft eine neue Messung außerhalb des Vorhersagebereichs liegt, basierend auf Parameterschätzungen. (basierend auf Berechnungen mit 2000 Wiederholungen für die Vorhersage)xi
Wenn wir beispielsweise ein Vorhersageintervall von 99% verwenden (wodurch 1% Fehler erwartet werden), erhalten wir fünfmal mehr Fehler, wenn die Stichprobengröße 3 betrug.
Diese Art von Berechnungen kann verwendet werden, um empirische Beziehungen herzustellen, wie wir den Bereich korrigieren können, und die Berechnungen zeigen, dass für große die Differenz kleiner wird (und irgendwann kann man sie für irrelevant halten).n
![Differenz zwischen MLE-Schätzung und effektivem Konfidenzintervall](https://i.stack.imgur.com/CONtN.png)
set.seed(1)
# likelihood calculation
like<-function(par, x){
scale = abs(par[2])
pos = par[1]
n <- length(x)
like <- -n*log(scale*pi) - sum(log(1+((x-pos)/scale)^2))
-like
}
# obtain effective predictive failure rate rate
tryf <- function(pos, scale, perc, n) {
# random distribution
draw <- rcauchy(n, pos, scale)
# estimating distribution parameters based on median and interquartile range
first_est <- c(median(draw), 0.5*IQR(draw))
# estimating distribution parameters based on likelihood
out <- optim(par=first_est, like, method='CG', x=draw)
# making scale parameter positive (we used an absolute valuer in the optim function)
out$par[2] <- abs(out$par[2])
# calculate predictive interval
ql <- qcauchy(perc/2, out$par[1], out$par[2])
qh <- qcauchy(1-perc/2, out$par[1], out$par[2])
# calculate effective percentage outside predicted predictive interval
pl <- pcauchy(ql, pos, scale)
ph <- pcauchy(qh, pos, scale)
error <- pl+1-ph
error
}
# obtain mean of predictive interval in 2000 runs
meanf <- function(pos,scale,perc,n) {
trueval <- sapply(1:2000,FUN <- function(x) tryf(pos,scale,perc,n))
mean(trueval)
}
#################### generate image
# x-axis chosen desired interval percentage
percentages <- 0.2/1.2^c(0:30)
# desired sample sizes n
ns <- c(3,4,5,6,7,8,9,10,20,30)
# computations
y <- matrix(rep(percentages, length(ns)), length(percentages))
for (i in which(ns>0)) {
y[,i] <- sapply(percentages, FUN <- function(x) meanf(0,1,x,ns[i]))
}
# plotting
plot(NULL,
xlim=c(0.0008,1), ylim=c(0,10),
log="x",
xlab="aimed error rate",
ylab="effective error rate / aimed error rate",
yaxt="n",xaxt="n",axes=FALSE)
axis(1,las=2,tck=-0.0,cex.axis=1,labels=rep("",2),at=c(0.0008,1),pos=0.0008)
axis(1,las=2,tck=-0.005,cex.axis=1,at=c(0.001*c(1:9),0.01*c(1:9),0.1*c(1:9)),labels=rep("",27),mgp=c(1.5,1,0),pos=0.0008)
axis(1,las=2,tck=-0.01,cex.axis=1,labels=c(0.001,0.01,0.1,1), at=c(0.001,0.01,0.1,1),mgp=c(1.5,1,0),pos=0.000)
#axis(2,las=1,tck=-0.0,cex.axis=1,labels=rep("",2),at=c(0.0008,1),pos=0.0008)
#axis(2,las=1,tck=-0.005,cex.axis=1,at=c(0.001*c(1:9),0.01*c(1:9),0.1*c(1:9)),labels=rep("",27),mgp=c(1.5,1,0),pos=0.0008)
#axis(2,las=1,tck=-0.01,cex.axis=1,labels=c(0.001,0.01,0.1,1), at=c(0.001,0.01,0.1,1),mgp=c(1.5,1,0),pos=0.0008)
axis(2,las=2,tck=-0.01,cex.axis=1,labels=0:15, at=0:15,mgp=c(1.5,1,0),pos=0.0008)
colours <- hsv(c(1:10)/20,1,1-c(1:10)/15)
for (i in which(ns>0)) {
points(percentages,y[,i]/percentages,pch=21,cex=0.5,col=colours[i],bg=colours[i])
}
legend(x=0.4,y=4.5,pch=21,legend=ns,col=colours,pt.bg=colours,title="sample size")
title("difference between confidence interval and effective confidence interval")
plot(ns,y[31,]/percentages[31],log="")