Was ist höher,

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Ich hatte also einen Wahrscheinlichkeitstest und konnte diese Frage nicht wirklich beantworten. Es hat nur so etwas gefragt:

"Wenn man bedenkt, dass eine Zufallsvariable ist, , benutze die richtige Ungleichung, um zu beweisen, was höher oder gleich ist, oder . $X$ $X$ $\geqslant$ $0$ $E(X^2)^3$ $E(X^3)^2$

Das einzige, was ich denken konnte, war die Ungleichung von Jensen, aber ich weiß nicht wirklich, wie ich sie hier anwenden soll.

probability self-study probability-inequalities

— Trikolore
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Versuchen Sie stattdessen die Ungleichung von Holder.

— Jbowman

1

Bitte fügen Sie das Selbststudien-Tag hinzu.

— Michael R. Chernick

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Der Thread unter stats.stackexchange.com/questions/244202/… verallgemeinert diese Frage: Nehmen Sie einfach die sechsten Wurzeln beider Seiten, um sie anzuwenden.

— whuber

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Bitte sehen Sie die Diskussion der Hausaufgaben-Stil Fragen in der Hilfe-Center

— Glen_b -Reinstate Monica

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Dies kann in der Tat durch Jensens Ungleichung bewiesen werden.

Hinweis : Beachten Sie, dass für die Funktion in konvex ist (hier verwenden Sie die Annahme ). Dann gibt die Jensen-Ungleichung und für ist es das anders herum. $\alpha > 1$ $x^{\alpha}$ $\left[0, -\infty\right)$ $X \ge 0$

E {[Y]}^{α} \leq E [Y^{α}]

$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$

α < 1

$\alpha < 1$

Transformieren Sie nun die Variablen in etwas Vergleichbares und suchen Sie das relevante . $\alpha$

— tmrlvi
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Lyapunovs Ungleichung (siehe: Casella und Berger, Statistical Inference 4.7.6):

Für : $1 < r < s < \infty$

E [| X |^{r}]^{\frac{1}{r}} \leq E [| X |^{s}]^{\frac{1}{s}}

$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Beweis :

Durch Jensens 'Ungleichung für konvex : $\phi(x)$ $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Betrachten Sie , dann wobei $\phi(Y) = Y^t$ $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ $Y = |X|^r$

Ersetzen Sie : $t = \frac{s}{r}$ $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Im Allgemeinen bedeutet dies für : $X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

— rechtsgesägt
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Angenommen, X hat eine gleichmäßige Verteilung auf [0,1], dann ist E (X ) = und somit E (X ) = und E ( X ) = $^2$ $\frac{1}{3}$ $^2$ $^3$ $\frac{1}{27}$ $^3$ $\frac{1}{4}$ also E (X ) = . Also in diesem Fall E (X ) > E (X ) . Können Sie dies verallgemeinern oder ein Gegenbeispiel finden? $^3$ $^2$ $\frac{1}{16}$ $^3$ $^2$ $^2$ $^3$

— Michael R. Chernick
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Sehr vage Antwort. Das OP wird gebeten, die korrekte Aussage zu beweisen. Es gibt überhaupt kein Gegenbeispiel.

— Zhanxiong