Bedingungslose Verteilung des ARMA-Prozesses mit T-Student-Fehlern

Wenn im -Modell die Fehler eine Normalverteilung haben, ist die bedingungslose Verteilung von Normal. Wenn die Fehler eine T-Student-Verteilung mit Freiheitsgraden haben. Was ist die bedingungslose Verteilung von ? $Y_t\sim ARMA(p,q)$ $Y_t$ $\nu$ $Y_t$

Also wobei .

Y_{t} = ϕ_{1} Y_{t - 1} + \dots + ϕ_{p} Y_{t - p} + e_{t} - θ_{1} e_{t - 1} - \dots - θ_{q} e_{t - q}

$Y_t=\phi_1Y_{t-1}+\dots+\phi_pY_{t-p}+e_t-\theta_1e_{t-1}-\dots-\theta_q e_{t-q}$

e_{t} \sim t_{ν}

$e_t\sim t_\nu$

Ich habe keine Ahnung, wie ich die Verteilung und die Bücher finden soll, die ich meistens nur für den Fall mit Gaußschen Fehlern habe.

Ein Hinweis wäre auch interessant.

Ich denke wie folgt. Wenn Ihr ARMA (p, q) invertierbar ist, können Sie es durch Wolds Zerlegungssatz in MA (unendlich) invertieren. Jetzt betrachten Sie die unendliche Summe von Student-t. Laut jstor.org/stable/2286298?seq=1#page_scan_tab_contents ist das Ergebnis, wenn Freiheitsgrade eine ungerade Zahl sind, eine Mischung aus student-t-Variablen.

— Cagdas Ozgenc

Das ARMA-Modell gehört zur allgemeinen Klasse der linearen Modelle, bei denen Ihr beobachtbarer Vektor eine lineare Funktion eines zugrunde liegenden Vektors von IID-Fehlertermen ist. Betrachten Sie die allgemeine lineare Modellform mit IID-Fehlern nach einer T-Verteilung:

Y_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} A_{k} ε_{t - k} ε_{k} \sim IID Student T (df = ν) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty A_k \varepsilon_{t-k} \quad \quad \quad \varepsilon_k \sim \text{IID Student T}(\text{df} = \nu). \quad \quad \quad \quad$

Eine der nützlichen Eigenschaften der T-Verteilung des Schülers besteht darin, dass sie als Mischung aus Normalen und einem gammaverteilten Präzisionsparameter geschrieben werden kann . Mit dieser Darstellung kann die obige Modellform äquivalent geschrieben werden als:

Y_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A_{k} ϵ_{t - k}}{\sqrt{λ_{k}}} ϵ_{k} \sim IID N (0, 1) λ_{k} \sim Gamma (\frac{ν}{2}, \frac{ν}{2}) .

$Y_t = \sum_{k=0}^\infty \frac{A_k \epsilon_{t-k}}{\sqrt{\lambda_k}} \quad \quad \quad \epsilon_k \sim \text{IID N}(0, 1) \quad \lambda_k \sim \text{Gamma}(\tfrac{\nu}{2}, \tfrac{\nu}{2}).$

Sie können aus dieser Form sehen, dass der Wert eine Summe unabhängiger Terme ist, die jeweils Verhältnisse von normalen Zufallsvariablen und Gamma-Zufallsvariablen sind (was skalierte T-Zufallsvariablen ergibt). Der Unterschied zwischen dem vorliegenden Modell und dem standardmäßigen linearen Gaußschen Modell ist das Vorhandensein der Nennerterme in der Summe. (Im Standard-Gaußschen Fall haben wir .) $Y_t$ $\lambda = \lambda_k$

Die Verteilung für diese Menge ist eine komplizierte Faltung, aber die CLT stellt sicher, dass sie unter milden Bedingungen zur Normalität konvergiert. Es ist möglich, die Verteilung zu simulieren, indem die zufälligen Wurzel-Gamma-Nenner auf die Summationsterme angewendet werden, wodurch die Menge etwas variabler wird als im linearen Standard-Gauß-Modell.

— Ben - Monica wieder einsetzen
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