Beweise für das Pitman-Koopman-Darmois-Theorem auf Bachelor-Ebene

Das Pitman-Koopman-Darmois-Theorem besagt, dass es sich um eine exponentielle Familie handelt, wenn eine iid-Stichprobe aus einer parametrisierten Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine ausreichende Statistik zulässt, deren Anzahl skalarer Komponenten nicht mit der Stichprobengröße wächst.

Geben Lehrbücher oder elementare Expository-Papiere Beweise?
Warum ist es nach diesen drei Personen benannt?

mathematical-statistics references

— Michael Hardy
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Der Grund, warum das Lemma Pitman-Koopman-Darmois heißt, ist nicht überraschend, dass die drei Autoren ungefähr zur gleichen Zeit unabhängig voneinander ähnliche Versionen des Lemmas etablierten:

Darmois, G. (1935) Sur les lois de probabilité à Schätzung erschöpfend, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 200, 1265-1266.
Koopman, BO (1936) Über Verteilungen, die eine ausreichende Statistik zulassen, Transactions of the American Mathematical Society , Vol. 3, No. 39, Nr. 3. [Link]
Pitman, EJG (1936) Ausreichende Statistik und intrinsische Genauigkeit, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 32, 567-579.

nach einem eindimensionalen Ergebnis in

Fisher, RA (1934) Zwei neue Eigenschaften der mathematischen Wahrscheinlichkeit, Proceedings of the Royal Society , Reihe A, 144, 285-307.

Ich kenne keinen nichttechnischen Beweis für dieses Ergebnis. Ein Beweis, der keine komplexen Argumente beinhaltet, ist der von Don Fraser (S.13-16), der auf dem Argument basiert, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion eine ausreichende Statistik mit funktionalem Wert ist. Aber ich finde das Argument umstritten, weil Statistiken echte Vektoren sind, die Funktionen der Stichprobe , keine Funktionale (Transformationen mit Funktionswert). Durch die Änderung der Art der Statistik ändert Don Fraser die Definition der Suffizienz und damit die Bedeutung des Darmois-Koopman-Pitman-Lemmas. $x$

— Xi'an
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+1. Nitpick auf das verknüpfte Koopman-Papier im Absatz nach Gl. (6) beweisen, dass der Jacobian überall verschwindet: Die Nachbarschaft von sollte nicht willkürlich ausgewählt werden, nur damit der Jacobian ungleich Null ist. Es muss lokal für jeden Punkt und nicht lokal argumentiert werden. Die (definierte) Existenz des Differentials ungleich Null an diesem Punkt garantiert, dass es eine ausreichend kleine Nachbarschaft dieses Punktes gibt, so dass die linke Seite von Gl. (5) in dieser anderen Nachbarschaft als diesem Punkt unterscheidet sich immer von der an diesem Punkt.

(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, x_{3}^{0})

$(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$

— Hans

Es ist nicht wahr, dass Jacobi ungleich Null zu globalen eindeutigen Werten in einer Domäne (Mannigfaltigkeit) führt, wie in der Veröffentlichung impliziert. Es ist nur lokal wahr. Auch wird die Dimensionalität nicht durch Homöomorphismus bewahrt, wie im letzten Satz dieses Absatzes behauptet, sondern durch lokalen Diffeomorphismus, was hier der Fall ist.

— Hans