"Unerwartete" Erwartung

Kann einer unserer Monte-Carlo-Experten die "unerwartete" Erwartung am Ende dieser Antwort erklären ?

Ex-post- Zusammenfassung der anderen Frage / Antwort: Wenn IID-Zufallsvariablen sind und die Erwartungen existieren, zeigt ein einfaches Symmetrieargument , dass , aber ein Monte-Carlo-Experiment mit scheint diesem Satz zu widersprechen. $X_1,\dots,X_n$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$ $\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$ $X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

— Zen
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Die Erklärung für die Monte-Carlo-Bewertung des Verhältnisses unter Verwendung seltsamer Werte ist, dass die Erwartung nicht existiert. Als Transformation eines Cauchy in Ihrem normalen Beispiel . In der Tat ist was nicht der ist integrierbar bei da äquivalent zu . $\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$ $X_1/X_2$

\begin{aligned} E [X_{1} / (X_{1} + X_{2})] & = E [1 / (1 + X_{2} / X_{1})] \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + y} \frac{1}{π (1 + y^{2})} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$

y = - 1

$y=-1$

(y + 1)^{- 1}

$(y+1)^{-1}$

Beachten Sie, dass keine Cauchy-Variable ist, sondern die Transformation einer Cauchy-Variable durch die Funktion Der Grund dafür ist das und das wobei . $X_1/\bar{X}$

f : y \to \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} y}

$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$

(X_{2} + \dots + X_{n}) \sim N (0, n - 1)

$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$

\frac{X_{1}}{\bar{X}} = \frac{n}{1 + (X_{2} + \dots + X_{n}) / X_{1}} = \frac{n}{1 + \sqrt{n - 1} Z / X_{1}}

$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim\text{N}(0,1)$

Beachten Sie, dass , wenn gegen unendlich wächst, in der Verteilung gegen die Zufallsvariable konvergiert, die mit der Wahrscheinlichkeit gleich . $n$ $X_1/\bar{X}$ $\pm \infty$ $1/2$

— Xi'an
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Im Gamma-Beispiel ist das Verhältnis durch begrenzt und hat daher eine endliche Erwartung.

1

$1$

— Xi'an

OK, also das Symmetrieargument funktioniert, aber nur, wenn die Erwartung überhaupt besteht ... Natürlich ...

— Zen

@ Xi'an: Sie haben Recht damit, dass dies kein Cauchy ist, und Ihre Antwort ist genau richtig. Ich werde meine Antwort löschen, da sie aktiv irreführend ist.

— Stephan Kolassa