Basis des Pearson-Korrelationskoeffizienten

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Der Pearson-Korrelationskoeffizient wird unter Verwendung der Formel berechnet . Wie enthält diese Formel die Information, dass die beiden Variablen und korreliert sind oder nicht? Oder wie erhalten wir diese Formel für den Korrelationskoeffizienten? $r = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{var(X)} \sqrt{var(Y)}}$ $X$ $Y$

correlation pearson-r

— Pranphy
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Was zählt, ist . Nenner $cov(X,Y)$ dient zum Entfernen von Maßeinheiten (wenn beispielsweisein Metern undin Kilogrammgemessen wird, wirdin Meter-Kilogramm gemessen, was schwierig ist zu verstehen) und zur Standardisierung (liegt zwischen -1 und 1, unabhängig davon, welche Variablenwerte Sie haben). $\sqrt{var(X)var(Y)}$ $X$ $Y$ $cov(X,Y)$ $cor(X,Y)$

Nun zurück zu . Dies zeigt , wie Variablen variieren gemeinsam über ihre Mittel, damit Co-Varianz . Nehmen wir ein Beispiel. $cov(X,Y)$ Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

$\bar X$ $\bar Y$ $X_i$ $Y_i$ $(X_i-\bar X)$ $(Y_i-\bar Y)$ $(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$ ist positiv. Im Gegensatz dazu sind oben links und unten rechts Bereiche, in denen dieses Produkt negativ ist.

$cov(X,Y)=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$ $(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$ $(\bar X,\bar Y)$

Als letzte Anmerkung zeigt die Kovarianz nur die Stärke einer linearen Beziehung. Wenn die Beziehung nicht linear ist, kann die Kovarianz sie nicht erkennen.

— danas.zuokas
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covariance shows only the strength of a linear relationshipDas ist nicht wahr. Cov reagiert sowohl auf die Stärke der Linearität als auch auf die Größe der Variation. Nehmen Sie X und Y, streng linear verwandt. Ziehen Sie dann zwei Extrempunkte in X auseinander, um var (X) zu vergrößern. Die bivariate Wolke ist nicht mehr linear - sie ist nur noch monoton; dennoch wurde cov (X, Y) größer! Wenn wir nun jedoch die Summe var (X) + var (Y) auf ihren ursprünglichen Wert zurückbringen, fällt cov (X, Y) unter und unter ihren Anfangswert, was die Tatsache widerspiegelt, dass wir zuvor die Linearität gestört haben.

— ttnphns

Wow, das ist interessant.

— danas.zuokas

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$\frac{SCP(X,Y)}{\sqrt{SS(X)} \sqrt{SS(Y)}}$

Kosinus ist nun das Maß für die Verhältnismäßigkeit ; cos (X, Y) = 1, wenn und nur wenn Xi = kYi , dh wenn alle Punkte ( i ) auf einer geraden Linie liegen, die vom Ursprung des X-Y-Koordinatensystems kommt. Wenn entweder die Linie nicht durch den Ursprung kommt oder Punkte von der geraden Linie abweichen, wird cos kleiner. Da Pearson r der cos der Wolke ist, die sowohl auf der X- als auch auf der Y- Achse zentriert wurde, kommt die Linie unvermeidlich durch den Ursprung; und daher kann nur die Abweichung von Punkten vom Liegen auf der geraden Linie r verringern : r ist das Maß vonLinearität .

— ttnphns
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Wenn r = 1 ist, gibt es eine perfekte lineare Korrelation, wenn r = -1 ist, gibt es eine perfekte negative lineare Korrelation, wenn r = 0 ist, gibt es keine lineare Korrelation. Der Grund, warum wir durch Standardabweichungen von X und Y dividieren, besteht darin, ein Maß zu erhalten, das nicht vom Maßstab abhängt.

In diesem Thread finden Sie detailliertere Antworten.

— Akavall
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