Erhalten Sie die gemeinsame Verteilung aus der paarweisen Randverteilung

Angenommen, wir haben 3 Zufallsvariablen und kennen die paarweise Randverteilung , aber wir wissen nichts anderes (wie z als bedingte Unabhängigkeit). Können wir die gemeinsame Verteilung ? $X_1,X_2,X_3$ $P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$ $P(X_1,X_2,X_3)$

probability distributions

— starry1990
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Nein.

Stellen Sie sich eine trivariate Verteilung mit bivariaten (Standard-, unabhängigen) Normalrändern vor, wobei jedoch die Hälfte der Oktanten eine Wahrscheinlichkeit von 0 und die Hälfte eine doppelte Wahrscheinlichkeit hat. Betrachten Sie insbesondere Oktanten ---, - ++, + - +, ++ - mit doppelter Wahrscheinlichkeit.

Dann sind die bivariaten Ränder nicht von denen zu unterscheiden, die Sie mit drei normalen Standardvariablen erhalten würden. In der Tat gibt es unendlich viele trivariate Verteilungen, die dieselben bivariaten Ränder erzeugen würden

Wie Dilip Sawarte in Kommentaren hervorhebt, hat er in einer Antwort im Wesentlichen dasselbe Beispiel erörtert (jedoch die verdoppelten und auf Null gesetzten Oktanten umgekehrt) und es auf formellere Weise definiert. Whuber erwähnt ein Beispiel mit Bernoulli-Variationen, das (im trivariaten Fall) so aussieht:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... wo jeder bivariate Rand wäre

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4

und wäre so gleichbedeutend mit dem Fall von drei unabhängigen Variablen (oder tatsächlich drei mit genau der umgekehrten Form der Abhängigkeit).

Ein eng verwandtes Beispiel, über das ich anfänglich zu schreiben begann, betraf eine trivariate Uniform mit abwechselnden "Scheiben" in einem Schachbrettmuster mit größerer und niedrigerer Wahrscheinlichkeit (Verallgemeinerung der üblichen Null und Doppel).

Sie können die Trivariate also im Allgemeinen nicht aus bivariaten Rändern berechnen.

— Glen_b - Monica neu starten
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+1. Ein weiteres Standardbeispiel - das einfachste und eng mit Ihrem verwandt - besteht darin, unabhängige Bernoulli sein zu lassen . Die vollständige Verteilung kann tabellarisch dargestellt werden, da es nur acht gleichwahrscheinliche Ergebnisse gibt. Ihre Ränder und paarweisen Ränder sind nach dem Konditionieren des auf eine gerade Anzahl von Nullen gleich (streichen Sie einfach die anderen Zeilen in der Tabelle durch und verdoppeln Sie alle ihre Wahrscheinlichkeiten), aber die beiden gemeinsamen Verteilungen unterscheiden sich offensichtlich.

X_{i}

$X_i$

(1 / 2)

$(1/2)$

X_{i}

$X_i$

— whuber

+1 Die trivariate Verteilung ist in meiner Antwort ausführlich beschrieben, außer dass ich stattdessen die Oktanten verwendet habe. Es hängt natürlich mit den von @whuber erwähnten Bernoulli-Zufallsvariablen zusammen, deren Beispiel meines Erachtens auf Bernstein zurückgeht.

+ + +, + - -, - + -, - - +

$+++, +--, -+-, --+$

— Dilip Sarwate

Aber in weniger künstlichen Fällen könnten vielleicht einige Grenzen gesetzt werden?

— kjetil b halvorsen

Hier muss es eine Kopula-Lösung geben. Sklars Theorem hat eine Erweiterung auf den n-dimensionalen Fall, und dort haben Sie nur

— Ränder

Aksakal Die Kopula selbst spezifiziert vollständig die Abhängigkeitsstruktur, nicht die Ränder. Die Tatsache, dass Sie die Ränder beibehalten, aber die Kopula ändern können, ist hier eine einfachere Version desselben Problems.

— Glen_b -State Monica