Fehler in der normalen Annäherung an eine gleichmäßige Summenverteilung

Eine naive Methode zur Annäherung an eine Normalverteilung besteht darin, etwa IID-Zufallsvariablen, die gleichmäßig auf verteilt sind, zu addieren , neu zu zentrieren und neu zu skalieren, wobei auf den zentralen Grenzwertsatz zurückgegriffen wird. ( Randnotiz : Es gibt genauere Methoden wie die Box-Muller-Transformation .) Die Summe der IID -Zufallsvariablen wird als gleichmäßige Summenverteilung oder Irwin-Hall-Verteilung bezeichnet . $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$

Wie groß ist der Fehler bei der Annäherung einer gleichmäßigen Summenverteilung an eine Normalverteilung?

Immer wenn diese Art von Frage auftaucht, um die Summe der IID-Zufallsvariablen zu approximieren, bringen Leute (einschließlich ich) das Berry-Esseen-Theorem zur Sprache , das eine effektive Version des zentralen Grenzwertsatzes ist, vorausgesetzt, der dritte Moment existiert:

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

wobei die kumulative Verteilungsfunktion für die neu skalierte Summe von IID-Zufallsvariablen ist, ist das absolute dritte zentrale Moment, ist die Standardabweichung und ist eine absolute Konstante, die mit oder sogar . $F_n$ $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

Das ist unbefriedigend. Es scheint mir, dass die Berry-Esseen-Schätzung bei diskreten Binomialverteilungen der Schärfe am nächsten kommt, wobei der größte Fehler bei einer symmetrischen Binomialverteilung bei . Der größte Fehler tritt beim größten Sprung auf. Die gleichmäßige Summenverteilung weist jedoch keine Sprünge auf. $0$

Numerische Tests legen nahe, dass der Fehler schneller als . $c/\sqrt n$

Mit 1/2 ist die Berry-Esseen-Schätzung $C=1/2$

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0,650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

was für , ungefähr , bzw. ist. Die tatsächlichen maximalen Differenzen für scheinen ungefähr , bzw. , die viel kleiner sind und als anstelle von zu fallen scheinen . $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ $c/\sqrt n$

— Douglas Zare
quelle

Wenn Sie die Verteilung der Summe in einer Edgeworth-Erweiterung erweitern , stellen Sie fest, dass

gleichmäßig in

als

(seit Die Gleichverteilung ist symmetrisch. klingt also ungefähr richtig. Aufgrund des Terms ist dies jedoch nicht

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$

— bindend

Danke, das scheint das

Muster auch für viele andere Distributionen zu erklären .

c / n

$c/n$

— Douglas Zare

Sei iid Zufallsvariablen und betrachte die normierte Summe $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$

S_{n} = \frac{\sqrt{3} \sum_{ich = 1}^{n} U_{ich}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

δ_{n} = sup_{x \in R} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

Lemma 1 ( Uspensky ): Die folgende Schranke für gilt. $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

Beweis . Siehe JV Uspensky (1937), Einführung in die mathematische Wahrscheinlichkeit , New York: McGraw-Hill, p. 305.

Dies wurde später von R. Sherman zu folgenden verbessert.

Lemma 2 ( Sherman ): Die folgende Verbesserung der Uspensky-Grenze gilt.

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

Beweis : Siehe R. Sherman, Fehler der normalen Annäherung an die Summe von N Zufallsvariablen , Biometrika , vol. 58, nein. 2, 396–398.

Der Beweis ist eine ziemlich einfache Anwendung der Dreiecksungleichung und der klassischen Schranken am Ende der Normalverteilung und von auf die charakteristischen Funktionen jeder der beiden Verteilungen. $(\sin x) / x$

— Kardinal
quelle

+1 Ist in Lemma 2?

N = n

$N=n$

@ Procrastinator: Guter Fang.

— Kardinal

Vielen Dank! Diese Referenzen sind sehr hilfreich. Die Schätzungen scheinen innerhalb eines Faktors von des tatsächlichen Wertes zu liegen.

2

$2$

— Douglas Zare