Wenn X und Y nicht korreliert sind, sind X ^ 2 und Y auch nicht korreliert?

Wenn zwei Zufallsvariablen und nicht korreliert sind, können wir dann auch wissen, dass und korreliert sind? Meine Hypothese lautet ja. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ unkorreliert bedeutet oder $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Bedeutet das auch folgendes?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— Vegard Stikbakke
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Ja. Diese Frage wurde bereits gestellt und beantwortet, aber ich kann auf meinem Mobilgerät keine bestimmte Referenz finden.

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate es scheint, dass die akzeptierte Antwort bereits ein Gegenbeispiel gibt.

— Vim

@DilipSarwate Du musst in deinem Kommentar "Nein" statt "Ja" gemeint haben!

— Amöbe sagt Reinstate Monica

@amoeba Die Originalversion der Frage nach der Unabhängigkeit, für die die Antwort in der Tat Ja lautet. Es wurde seitdem bearbeitet, um nach unkorrelierten Zufallsvariablen zu fragen. Ich kann meinen Kommentar jetzt nicht ändern.

— Dilip Sarwate

Die ursprüngliche Frage war ziemlich verwirrt, da sie eine falsche Definition der Unabhängigkeit verwendete. Die aktuelle Frage ist immer noch verwirrt, da sie einen unangemessenen Abzug von der Unkorrelation voraussetzt (es wird angenommen, dass ). Ich hoffe, @vegardstikbakke liest anhand einiger Beispiele die richtigen Definitionen von unabhängig und unkorreliert nach.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

— Meni Rosenfeld

Antworten:

Ein Gegenbeispiel:

Sei gleichmäßig verteilt auf , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Dann ist und auch ( ist eine ungerade Funktion), so dass nicht korreliert sind. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Aber $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

Die letzte Ungleichung ergibt sich aus Jensens Ungleichung. Es folgt auch aus der Tatsache, dass da nicht konstant ist. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

Das Problem mit Ihrer Argumentation ist, dass möglicherweise von abhängt und umgekehrt, sodass Ihre vorletzte Gleichheit ungültig ist. $f_X$ $y$

— Jakub Bartczuk
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Keine Notwendigkeit, es mit Jensens Ungleichung komplizierter zu machen; ist eine nicht negative Zufallsvariable und ist nicht wp 1, also (oder Sie können einfach und das Positive leicht erkennen ).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— Batman

Sie sollten auch einen Plot hinzufügen. Ich hatte über ein ähnliches Beispiel nachgedacht (Y = | X | on -1: +1), hätte dies aber visuell dargestellt.

— Anony-Mousse

@ Batman Ich verstehe nicht wirklich, wie es Ihnen etwas gibt, da wir interessiert sind, wenn

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

@ Anony-Mousse Keine Einschränkung erforderlich. Y = | X | erfüllt die Anforderung.

— Loren Pechtel

LorenPechtel zur Visualisierung. Aus meiner Sicht ist es besser zu sehen, warum dies passieren kann, und nicht nur, dass das mathematische Ergebnis wie gewünscht ist.

— Anony-Mousse

Selbst wenn , ist es nicht nur möglich, dass und korreliert sind, sondern sie können sogar perfekt korreliert sein mit : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Oder : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Wenn Sie den R-Code nicht lesen können , entspricht das erste Beispiel der Betrachtung zweier Zufallsvariablen und mit einer gemeinsamen Verteilung, sodass mit gleicher Wahrscheinlichkeit , oder . In dem perfekt negativ korrelierten Beispiel ist gleichermaßen wahrscheinlich , oder . $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

Trotzdem können wir und auch so konstruieren, dass , so dass alle Extreme möglich sind: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— Silberfisch
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Der Fehler in Ihrer Überlegung ist, dass Sie Folgendes über schreiben : while im Allgemeinen ist Die beiden stimmen überein, wenn , dh wenn und unabhängig sind. Nicht korreliert zu sein, ist eine notwendige, aber nicht ausreichende Voraussetzung für die Unabhängigkeit. Wenn also zwei Variablen und nicht korreliert, aber abhängig sind, können und korreliert sein. $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y.)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y.} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y.)] = \int h (x, y) f_{X Y.} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— Luca Citi
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