Wie berechnet man einen partiellen Erwartungswert der Beta-Verteilung (Mittelwert eines abgeschnittenen Beta)?

Bei einer Beta-Verteilung mit a = 2, b = 3 können wir einen erwarteten Wert (Mittelwert) für das Intervall [0, 1] = a / (a ​​+ b) = 2/5 = 0,4 und den Median = (a - finden) 1/3) / (a ​​+ b-2/3) = 0,39, die nahe beieinander liegen.

Ich suche nach einer Lösung in Python. Ich kann scipy.stats.beta verwenden , um den Median für das Intervall [0, 0,4] mit der Prozentpunktfunktion (invers zu cdf - Perzentilen) zu berechnen:

beta.ppf(0.4/2,a,b) = 0.2504

Da für diese Beta-Verteilung der Gesamtmittelwert und der Median nahe beieinander liegen (0,4 bzw. 0,39), verwende ich den Median für das Intervall [0, 0,4], um die erwarteten Werte (Mittelwert) für das Intervall [0, 0,4] zu schätzen.

Gibt es eine Möglichkeit, erwartete Werte (Mittelwert) für das Intervall [0, 0,4] zu berechnen?

Beachten Sie, dass die Formel, die Sie dort oben für den Beta-Median haben ( ), ungefähr ist. Sie sollten in der Lage sein, einen effektiv "exakten" numerischen Median mit dem inversen cdf (Quantilfunktion) der Beta-Verteilung in Python zu berechnen (für ein erhalte ich einen Median von ungefähr während dieser ungefähr ist Formel ergibt ).$\frac{\alpha-\frac13}{\alpha+\beta-\frac23}$$\text{beta}(2,3)$$0.3857$$0.3846$

Dieser Mittelwert einer abgeschnittenen Distribution ist mit einer Beta ziemlich einfach. Für eine positive Zufallsvariable haben wir

$E(X|X<k) = \int_0^k x\,f(x)\, dx / \int_0^k f(x)\, dx$

wobei in diesem Fall die Dichte einer Beta mit den Parametern und (die ich jetzt als schreibe ):$f$$\alpha$$\beta$$f(x;\alpha,\beta)$

$f(x;\alpha,\beta)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}\,,\:0<x<1,\alpha,\beta>0$

Daher ist$x\,f(x) = \frac{B(\alpha+1,\beta)}{B(\alpha,\beta)} f(x;\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} f(x;\alpha+1,\beta)$

Also ist$E(X|X<k) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \int_0^k f(x;\alpha+1,\beta)\, dx / \int_0^k f(x;\alpha,\beta)\,dx$

Jetzt sind die beiden Integrale nur noch Beta-CDFs, die Sie bereits in Python verfügbar haben.

Mit wir . Dies steht im Einklang mit der Simulation ( Simulationen ergaben ).$\alpha=2,\beta=3,k=0.4$$E(X|X<0.4)\approx 0.24195$$10^6$$\approx 0.24194$

Für den Median erhalte ich , was wiederum mit der Simulation übereinstimmt ( Simulationen ergaben ).$F^{-1}(\frac12 F(0.4;2,3);2,3)\approx 0.25040$$10^6$$\approx 0.25038$

Die beiden sind sich in diesem Fall ziemlich nahe, aber das ist kein allgemeines Ergebnis. Sie können manchmal wesentlich unterschiedlicher sein.