Gibt es eine Verallgemeinerung der Pillai-Spur und der Hotelling-Lawley-Spur?

Bei der Einstellung der multivariaten multiplen Regression (Vektorregressor und Regressand) hängen die vier Haupttests für die allgemeine Hypothese (Wilks Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley und Roys größte Wurzel) alle von den Eigenwerten der Matrix $H E^{-1}$ , wobei $H$ und $E$ die "erklärten" und "gesamten" Variationsmatrizen sind.

Ich hatte bemerkt , dass die Pillai und Hotelling-Lawley Statistiken beide ausgedrückt werden können

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$ für jeweils

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$ . Ich betrachte eine Anwendung, bei der die Verteilung dieser Spur, definiert für die Populationsanaloga von

H

$H$ und

E

$E$ , für den Fall

von Interesse

κ = 2

$\kappa = 2$ ist. (Modulofehler in meiner Arbeit.) Ich bin gespannt, ob eine Vereinheitlichung der Stichprobenstatistik für allgemeines

κ

$\kappa$ oder eine andere Verallgemeinerung, die zwei oder mehr der vier klassischen Tests erfasst. Mir ist klar, dass für

κ

$\kappa$ ungleich

0

$0$ oder

1

$1$ der Zähler nicht mehr wie ein Chi-Quadrat unter der Null aussieht und daher eine zentrale F-Näherung fraglich erscheint. Vielleicht ist dies also eine Sackgasse.

Ich hoffe, dass einige Untersuchungen zur Verteilung von $\psi_{\kappa}$ unter der Null ( dh die wahre Matrix der Regressionskoeffizienten ist alle Null) und unter der Alternative durchgeführt wurden. Ich interessiere mich besonders für den Fall $\kappa = 2$ , aber wenn es Arbeiten zum allgemeinen Fall $\kappa$ , könnte ich das natürlich verwenden.

— shabbychef
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H

$H$

E

$E$

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

Vielen Dank! Ich gucke mal. (Übrigens, ich habe mich nur über die Wahl der Buchstaben geärgert, 'h' für 'erklärt' und 'e' für 'total'.) Interessante Frage übrigens; (+1) von mir.

— Kardinal

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

Der Witz war so schlimm, dass man viel Koffein hätte bemerken müssen.

— Kardinal

Ich stelle mir vor, dass produktive Verallgemeinerungen aus Beobachtungen hervorgehen würden, die

${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
Einige dieser Tests können eine Norm der Matrix , z. B. ist Roys größte Wurzel die spektrale oder Norm . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
Einige der Tests können von der verallgemeinerten Entropieform sein , z. B. ist Hotelling-Lawleys Spur GE (1), Roys größte Wurzel ist GE ( ) und Wilks ' ist GE (-1) auf , jeweils bis zu einer monotonen Transformation. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Wenn andere Normen oder andere verallgemeinerte Entropieparameter berücksichtigt werden, können andere Statistiken erstellt werden, die möglicherweise von Bedeutung sind. Ich bezweifle jedoch, dass einer von ihnen Ihr produzieren würde . $\psi_2$

— StasK
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Ich glaube, wir haben , wobei die Eigenwerte von . Aber das scheint mich nicht weiter zu bringen. Ich glaube, ich weiß nicht genug über die Verteilung der Summen der Eigenwerte ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— Shabbychef