Intuitive Erklärung der Einheitswurzel

Wie würden Sie im Rahmen des Unit-Root-Tests intuitiv erklären, was eine Unit-Root ist?

Ich denke in einer Art zu erklären, wie ich sie in dieser Frage begründet habe .

Der Fall mit Unit Root ist, dass ich (im Übrigen wenig) weiß, dass der Unit Root-Test zum Testen der Stationarität in einer Zeitreihe verwendet wird, aber es ist einfach so.

Wie würden Sie es dem Laien oder einer Person erklären, die einen sehr grundlegenden Wahrscheinlichkeits- und Statistikkurs studiert hat?

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Ich habe Whubers Antwort akzeptiert, da sie am ehesten das widerspiegelt, was ich hier gefragt habe. Aber ich fordere alle, die hierher gekommen sind, auf, auch Patricks und Michaels Antworten zu lesen, da sie der natürliche "nächste Schritt" sind, um die Einheitswurzel zu verstehen. Sie benutzen Mathematik, aber auf eine sehr intuitive Art und Weise.

Er war gerade zur Brücke gekommen; und als er nicht sah, wohin er ging, stolperte er über etwas, und der Tannenzapfen schoss aus seiner Pfote in den Fluss.

"Mühe," sagte Pooh, als es langsam unter der Brücke schwebte, und er ging zurück, um einen anderen Tannenzapfen zu bekommen, der einen Reim dazu hatte. Aber dann dachte er, dass er stattdessen nur auf den Fluss schauen würde, weil es eine friedliche Art von Tag war, also legte er sich hin und sah es sich an, und es glitt langsam unter ihm weg. . . und plötzlich rutschte auch sein Tannenzapfen weg.

"Das ist lustig", sagte Pooh. "Ich ließ es auf der anderen Seite fallen", sagte Pooh, "und es kam auf dieser Seite heraus! Ich frage mich, ob es es wieder tun würde?"

AA Milne, Das Haus in der Pooh-Ecke (Kapitel VI. In dem Pooh ein neues Spiel erfindet und eeyore mitmacht.)

Hier ist ein Bild der Strömung entlang der Wasseroberfläche:

Die Pfeile zeigen die Strömungsrichtung und sind durch Stromlinien verbunden. Ein Tannenzapfen folgt in der Regel der Stromlinie, in die er fällt. Aber es funktioniert nicht immer auf die gleiche Weise, auch wenn es an der gleichen Stelle im Fluss abgelegt wird: Zufällige Abweichungen auf seinem Weg, verursacht durch Turbulenzen im Wasser, Wind und andere Launen der Natur, treten es auf die Nachbarn Stromlinien.

Hier wurde der Tannenzapfen in der Nähe der oberen rechten Ecke fallen gelassen. Es folgte mehr oder weniger den Stromlinien, die nach unten und links zusammenlaufen und abfließen, aber es dauerte kleine Umwege.

Ein "autoregressiver Prozess" (AR-Prozess) ist eine Folge von Zahlen, von denen angenommen wird, dass sie sich wie bestimmte Flüsse verhalten. Die zweidimensionale Darstellung entspricht einem Vorgang, bei dem jede Zahl durch ihre beiden vorhergehenden Werte bestimmt wird - zuzüglich eines zufälligen "Umweges". Die Analogie wird hergestellt, indem jedes aufeinanderfolgende Paar in der Sequenz als Koordinaten eines Punktes im Strom interpretiert wird. Augenblick für Augenblick ändert der Fluss des Streams die Koordinaten des Tannenzapfens auf dieselbe mathematische Weise, die der AR-Prozess vorgibt.

Wir können den ursprünglichen Prozess aus dem flussbasierten Bild wiederherstellen, indem wir die Koordinaten jedes Punktes schreiben, den der Tannenzapfen einnimmt, und dann alle bis auf die letzte Zahl in jedem Satz von Koordinaten löschen.

Die Natur - und insbesondere die Flüsse - ist reicher und vielfältiger als die Flüsse, die den AR-Prozessen entsprechen. Da angenommen wird, dass jede Zahl in der Sequenz - abgesehen vom zufälligen Umleitungsabschnitt - in gleicher Weise von ihren Vorgängern abhängt , weisen die Flüsse, die AR-Prozesse veranschaulichen, begrenzte Muster auf. Sie können tatsächlich wie ein Strom fließen, wie hier zu sehen ist. Sie können auch so aussehen, als würden sie um einen Abfluss herumwirbeln. Die Strömungen können in umgekehrter Richtung auftreten und scheinen aus einem Abfluss nach außen zu strömen. Und sie können aussehen wie Mündungen zweier zusammenstoßender Bäche: Zwei Wasserquellen fließen direkt aufeinander und teilen sich dann seitlich auf. Aber das war es schon. Sie können nicht sagen, einen fließenden Strom mit Wirbeln zu den Seiten haben. Dafür sind AR-Prozesse zu einfach.

In dieser Strömung wurde der Tannenzapfen in der unteren rechten Ecke fallen gelassen und trotz der geringfügigen zufälligen Positionsänderungen schnell in den Wirbel in der oberen rechten Ecke befördert. Aber es wird nie ganz aufhören, sich zu bewegen, aufgrund der gleichen zufälligen Bewegungen, die es vor dem Vergessen bewahren. Die Koordinaten des Tannenzapfens bewegen sich ein wenig - es ist tatsächlich zu sehen, dass sie insgesamt um die Koordinaten des Mittelpunkts des Wirbels pendeln. Im ersten Stromfluss bewegten sich die Koordinaten unvermeidlich in der Mitte des Stroms, wodurch der Kegel schnell erfasst und schneller abtransportiert wurde, als seine zufälligen Umwege ihn verlangsamen konnten: Sie tendieren mit der Zeit. Das Umkreisen eines Wirbels ist dagegen ein Beispiel für ein stationäres FahrzeugProzess, in dem der Tannenzapfen erfasst wird; Das Abfließen des Baches, in dem der Kegel außer Sichtweite fließt, ist instationär.

Übrigens, wenn sich der Fluss für einen AR-Prozess stromabwärts bewegt, beschleunigt er sich auch . Es wird schneller und schneller, wenn sich der Kegel entlangbewegt.

Die Art eines AR-Flusses wird durch einige spezielle "charakteristische" Richtungen bestimmt, die normalerweise im Stromdiagramm ersichtlich sind: Stromlinien scheinen in diese Richtungen zu konvergieren oder von diesen Richtungen zu kommen. Man kann immer so viele charakteristische Richtungen finden, wie es Koeffizienten im AR-Prozess gibt: zwei in diesen Abbildungen. Jeder charakteristischen Richtung ist eine Zahl zugeordnet, deren "Wurzel" oder "Eigenwert". Wenn die Größe der Zahl kleiner als eins ist, fließt die Strömung in dieser charakteristischen Richtung zu einem zentralen Ort. Wenn die Wurzel größer als eins ist, beschleunigt sich der Fluss von einem zentralen Ort weg .$1$- wird von zufälligen Kräften dominiert, die auf den Kegel einwirken. Es ist ein "zufälliger Spaziergang". Der Kegel kann langsam aber ohne Beschleunigung davonlaufen.

(Einige der Abbildungen zeigen die Werte beider Wurzeln in ihren Titeln.)

$1$

$1$

Pooh und seine Freunde fanden einen empirischen Test der Stationarität:

Jetzt spielten eines Tages Pooh und Piglet und Rabbit und Roo zusammen Poohsticks. Sie hatten ihre Stöcke hineingelegt, als Rabbit sagte: "Los!" und dann waren sie zur anderen Seite der Brücke geeilt, und jetzt beugten sie sich alle über die Kante und warteten darauf, wessen Stock zuerst herauskommen würde. Aber es dauerte lange, denn der Fluss war an diesem Tag sehr faul und schien es kaum zu stören, wenn er überhaupt nicht dort ankam.

"Ich kann meins sehen!" weinte Roo. "Nein, ich kann nicht, es ist etwas anderes. Kannst du deins sehen, Ferkel? Ich dachte, ich könnte meins sehen, aber ich könnte nicht. Da ist es! Nein, ist es nicht. Kannst du deins sehen, Pooh? "

"Nein", sagte Pooh.

"Ich gehe davon aus, dass mein Stock feststeckt", sagte Roo. "Kaninchen, mein Stock steckt fest. Steckt dein Stock fest, Ferkel?"

"Sie dauern immer länger als Sie denken," sagte Kaninchen.

Diese Passage aus dem Jahr 1928 könnte als der allererste "Unit Roo-Test" ausgelegt werden.

$AR(1)$

• $v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$$N(0,1)$

Prozess 1 hat keine Einheitswurzel. Prozess 2 hat eine Einheitswurzel. Sie können dies bestätigen, indem Sie die charakteristischen Polynome nach Michaels Antwort berechnen.

$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

Was passiert als nächstes? Wohin soll die Sequenz gehen?

$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Eine Intuition ist also, wenn ein "Durchlauf von Glück / Unglück" einen Prozess mit einer Einheitswurzel in Bewegung setzt, bleibt die Sequenz aufgrund des historischen Glücks oder Unglücks "in Position". Es wird sich immer noch zufällig verschieben, aber es gibt nichts, was es zurückdrängt. Auf der anderen Seite, wenn es keine Einheitswurzel gibt und der Prozess nicht explodiert, gibt es eine "Kraft" auf den Prozess, die den Prozess in die alte Position zurückdriften lässt, obwohl das zufällige Rauschen ihn immer noch ein bisschen herumwirbeln wird .

$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$