Momente einer Distribution - Nutzen Sie teilweise oder höhere Momente?

Es ist üblich, den zweiten, dritten und vierten Moment einer Verteilung zu verwenden, um bestimmte Eigenschaften zu beschreiben. Beschreiben Teilmomente oder Momente über dem vierten Moment nützliche Eigenschaften einer Verteilung?

distributions moments partial-moments

— Eduardas
quelle

Keine Antwort, aber man muss bedenken, dass Momente höherer Ordnung viel mehr Beobachtungen erfordern , um die erste Sig-figur zu erhalten.

— Isomorphismen

Ein Beitrag, der Teilmomente verwendet, ist stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Teilmomente haben also eine gewisse Verwendung und könnten wahrscheinlich mehr verwendet werden.

— kjetil b halvorsen

Antworten:

Abgesehen von den besonderen Eigenschaften einiger Zahlen (z. B. 2) ist der einzige wirkliche Grund, ganzzahlige Momente im Gegensatz zu Bruchmomenten herauszustellen, die Bequemlichkeit.

Höhere Momente können verwendet werden, um das Schwanzverhalten zu verstehen. Beispielsweise hat eine zentrierte Zufallsvariable mit der Varianz 1 genau dann einen subgaußschen Schweif (dh für einige Konstanten ) if für jedes und eine Konstante . $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Mark Meckes
quelle

Das Ergebnis, das Sie für [sub] gaußsche Schwänze angeben, sieht nicht richtig aus. Gemäß der von Ihnen angegebenen Schranke [ ] würde die -Norm einer zentrierten Gaußschen Variablen 1 nicht überschreiten, aber die -Norm eines rv tendiert dazu Sein ess sup ist für eine Gaußsche Variable.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— Ronaf

Danke, dass du das verstanden hast. Ich habe den Exponenten auf der rechten Seite vergessen. es ist jetzt korrigiert.

— Mark Meckes

Können Sie eine Referenz für dieses Ergebnis angeben?

— Gary

@Gary: Ich kenne leider keine (veröffentlichte oder online) Referenz. Es ist Teil der Folklore meines Fachs, in Kursen dargelegt, aber in Zeitungen als "einfach und bekannt" abgeschrieben. Der Beweis ist jedoch einfach. Ausgehend von der Endschätzung folgt die Momentschätzung aus der Integration nach Teilen (dh ) und Stirlings Formel. Ausgehend von der Momentschätzung folgt die Endschätzung, indem Markovs Ungleichung angewendet und über optimiert wird .

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes

Ich werde misstrauisch, wenn ich Leute nach dem dritten und vierten Moment fragen höre. Es gibt zwei häufige Fehler, an die die Leute oft denken, wenn sie das Thema ansprechen. Ich sage nicht, dass Sie diese Fehler unbedingt machen, aber sie kommen häufig vor.

Erstens scheint es, als ob sie implizit glauben, dass Verteilungen auf vier Zahlen reduziert werden können; Sie vermuten, dass nur zwei Zahlen nicht ausreichen, aber drei oder vier sollten ausreichen.

Zweitens klingt es so, als würde man auf den Moment-Matching-Ansatz für Statistiken zurückgreifen, der in der heutigen Statistik weitestgehend an Methoden mit maximaler Wahrscheinlichkeit eingebüßt hat.

Update: Ich habe diese Antwort zu einem Blogbeitrag erweitert .

— John D. Cook
quelle

Ein Anwendungsbeispiel (Interpretation ist ein besseres Qualifikationsmerkmal) für ein höheres Moment: Das fünfte Moment einer univariaten Verteilung misst die Asymmetrie seiner Schwänze.

— user603
quelle

Aber macht das der dritte (zentrale) Moment nicht stabiler und praktischer?

— Whuber

@Whuber:> Das dritte ist die Messung der Gesamtasymmetrie, die nicht mit der Schwanzasymmetrie identisch ist. Wegen des höheren Exponenten wird der Wert des fünften fast ausschließlich von den Schwänzen bestimmt.

— user603

@ Kwak: Vielen Dank, dass Sie Ihre Bedeutung geklärt haben. Natürlich könnte die gleiche Reaktion auf jeden ungeraden Moment angewendet werden: Sie messen die Asymmetrie immer weiter im Schwanz.

— Whuber

@Whuber:> Natürlich. Beachten Sie, dass Sie selbst bei einer gerechten Verteilung wie dem Gaußschen bereits im siebten Moment den Maximalwert mit dem Minimalwert vergleichen.

— user603

@ Kwak: Zwei kurze Anschlussfragen; Sie müssen nicht antworten, wenn Sie nicht möchten. (1) "Fair tailed" ?? (2) Was sind die min und max eines Gaußschen?

— Whuber