Motivation für die Gammaverteilung mit einem nicht ganzzahligen Parameter

Die Erlang-Verteilung lässt sich in Bezug auf die Wartezeit auf das Auftreten einer vordefinierten Anzahl von Ereignissen in einem Poisson-Prozess oder einer Summe einer vordefinierten Anzahl von exponentiellen Zufallsvariablen einfach interpretieren. Die Gammaverteilung ist allgemeiner, da sie einen nicht ganzzahligen Parameter zulässt, aber normalerweise die gleiche Motivation erhält. Ich weiß, dass diese Frage mehrmals gestellt wurde, aber ich habe keine zufriedenstellende Antwort gesehen, daher werde ich es wagen, sie erneut zu stellen: Was ist das kanonische oder zumindest prototypische Beispiel eines zufälligen Prozesses, der zu einer Gamma-verteilten Zufallsvariablen führt? Was ist nicht gleichzeitig eine Erlang-Zufallsvariable?

— Macleginn
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Zum Beispiel ... was ist mit Summen von Abweichungsquadraten vom Mittelwert der normalen Variablen? ....

— Glen_b -State Monica

@Glen_b, dies ist ein einschlägiges Beispiel, aber es scheint mehr mit Hypothesentests zu tun zu haben als mit zufälligen Prozessen an sich. Dies bedeutet, dass Autoren nach meiner eher begrenzten Erfahrung in der angewandten Literatur normalerweise nicht davon ausgehen, dass es sich um Normalsummen handelt, sondern vielmehr davon, dass es einige zugrunde liegende Exponentialverteilungen gibt.

— Macleginn

Was genau nimmst du dann als "zufälligen Prozess"? Wir können den Kommentar von @ Glen leicht in ein Standard-Framework für zufällige Prozesse übersetzen. Zum Beispiel zeigt ein zufälliger Spaziergang auf den natürlichen Zahlen, beginnend bei , mit unabhängigen Inkrementen, die als Quadrat einer Standardnormalverteilung verteilt sind, marginale Gammaverteilungen, die halbe ganze Zahlen sind.

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— whuber

@whuber, ich meinte zufällige Prozesse, die reale Szenarien annähern können.

— Macleginn

Inwiefern denken Sie dann, dass das Testen von Hypothesen kein "reales Szenario" ist?

— whuber

Antworten:

Es scheint, dass Sie nach "realen" Beispielen fragen, bei denen Gammaverteilungen verwendet werden, um einige reale Observablen zu modellieren, die durch Zufallsvariablen dargestellt werden. Es gibt viele solcher Beispiele. Nehmen Sie die Erlang-Verteilung, die Sie zuerst erwähnen: Der Fall der ganzzahligen Parameter folgt aus einem theoretischen Wahrscheinlichkeitsmodell für Wartezeiten, aber für die Modellierung direkt realer Wartezeiten bietet die Gammafamilie mit nicht ganzzahligen Parametern eine bessere Flexibilität. Einige andere Beispiele finden Sie hier: Beispiele aus der Praxis für gängige Distributionen

Gammaverteilungen können positive Zufallsvariablen und Niederschlagsversicherungen modellieren (Ein Zitat aus diesem Artikel Klimatologen bevorzugen die Gammaverteilung, da sie ausreichend flexibel ist, um kumulative Niederschläge über Zeiträume unterschiedlicher Länge angemessen zu charakterisieren und mit einer frei zugänglichen Version zu verknüpfen ).

Andere versicherungstechnische Verwendung der Gamma-Regression in der Hydrologie zur Modellierung von Niederschlägen oder Überschwemmungen, ... Bestandskontrolle Verwendung der Gamma-Verteilung, Zitat aus diesem Papier: Im Bereich der Bestandskontrolle von Fertigwaren stellen wir fest, dass die beobachteten Häufigkeitsverteilungen der Nachfrage haben die folgenden allgemeinen Merkmale:

Sie existieren nur für nicht negative Nachfragewerte
Mit zunehmender mittlerer Nachfrage nach Artikeln ändern sich die beobachteten Verteilungen von:

(a) monoton abnehmend auf

(b) unimodale Verteilungen, die stark nach rechts und schließlich nach rechts geneigt sind

(c) Normaltypverteilungen (bei Null abgeschnitten)

... und sie stellen dann fest, dass die Gamma-Verteilungsfamilie gut zu diesem qualitativen Verhalten passt. Dies ist ein wichtiger Punkt bei der Modellierung. Wir interessieren uns nicht nur dafür, wie eine bestimmte Einzelverteilung mit einem bestimmten Datensatz übereinstimmt, sondern auch für das allgemeine Verhalten einer Verteilungsfamilie .

Das klassische McCullagh / Nelder- Kapitel 8 "Modelle für Daten mit konstantem Variationskoeffizienten" verwendet hauptsächlich die Gammaverteilung, die Gamma-Regression.

— kjetil b halvorsen
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Bei einer radioaktiven Probe mit unbekannter Emissionsrate $\lambda$ , die Wahrscheinlichkeit auf $\lambda$ induziert durch Beobachtungen von Emissionen ist Gamma verteilt.

Bei einem normalen Prozess mit bekanntem Mittelwert, aber unbekannter Genauigkeit ist die induzierte Wahrscheinlichkeit für die Genauigkeit gammaverteilt.

Ähnliches gilt für Pareto- und Gammamodelle.

— Neil G.
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