Die Summe der exponentiellen Zufallsvariablen folgt Gamma und wird durch die Parameter verwechselt

Ich habe gelernt, dass die Summe der exponentiellen Zufallsvariablen der Gamma-Verteilung folgt.

Aber überall, wo ich lese, ist die Parametrisierung anders. Zum Beispiel beschreibt Wiki die Beziehung, sagt aber nicht, was ihre Parameter tatsächlich bedeuten? Form, Skala, Rate, 1 / Rate?

Exponentialverteilung: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Gammaverteilung: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— edwin
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Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

Entschuldigung, Sie haben Recht.

— Edwin

x

$x$

@edwin Bearbeiten Sie also Ihre Frage, um die Ausdrücke für Mittelwert und Varianz zu korrigieren.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate bearbeitet!

— Edwin

Antworten:

$n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
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Was mich verwirrt ist, dass einige Bücher schreiben

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

Wenn Sie der Meinung sind, dass dies verwirrend ist, warten Sie, bis Sie auf normale Zufallsvariablen stoßen. Es gibt mindestens drei verschiedene Interpretationen von

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

lol, das ruiniert nur unschuldige Seelen, die das Thema studieren wollen. Ich persönlich denke, dass dies vom Autor nur schlecht geschrieben wurde. Gleichzeitig stimme ich zu, dass ich die Fähigkeit anpassen muss, falsche Dinge zu erkennen. Aber immer noch nicht, wenn ich kleine Schritte unternehme.

— Edwin

Als Autor der Antwort auf die andere Frage bin ich enttäuscht, dass Sie der Meinung sind, dass diese Antwort schlecht geschrieben ist. Verbesserungsvorschläge sind sehr willkommen.

— Dilip Sarwate

Ich beziehe mich nicht auf Ihren Link.

— Edwin

$n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
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$f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
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Ich habe den mathematischen Teil Ihrer Antwort formatiert. Bitte überprüfen Sie, ob dies noch das ist, was Sie ausdrücken wollten.

— Andy

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$