Vereinfache die Summe der Kombinationen mit demselben n, allen möglichen Werten von k

Gibt es eine Möglichkeit, diese Gleichung zu vereinfachen?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Oder allgemeiner

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
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Speiseeis-Geschäft produziert unflavored Eis und fügt dann in einer oder mehrere von 5 Geschmackskonzentraten (Vanille, Schokolade, Fudge, Minze, jamoca) die verschiedenen Eissorten zum Verkauf im Laden zu erstellen. Die Anzahl der verschiedenen Geschmacksrichtungen ist also . Versuchen Sie, die Anzahl der Aromen von Hand zu berechnen. Identifizieren Sie für zusätzliche Gutschrift das Geschäft.

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$

— Dilip Sarwate

Antworten:

Sehen

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

was sagt

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Sie können dies mit dem Binomialsatz beweisen, wobei . $x=y=1$

Da nun für ein beliebiges , folgt dies $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

In deinem Fall ist , also ist die Antwort . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— Makro
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Vielen Dank. Ich habe versucht, alle möglichen Mengen von Eingabefunktionen für eine Regression herauszufinden, also beginne ich mit Statistiken, aber ich nehme an, diese Frage ist nicht per se Statistik.

— Idr

Kein Problem. Bitte überlegen Sie, ob Sie Antworten, die Sie hilfreich fanden, positiv bewerten und / oder akzeptieren möchten :)

— Makro

Natürlich. Ich glaube auch, dass dein Ich k sein sollte.

— Idr

du hast recht - fixiert.

— Makro

Ein einfacher Weg, dies zu sehen, ist: Sie nehmen jedes Element (1) oder nicht (0). Sie können also alle Binärzahlen mit n Bits darstellen: 2 ^ n. Und dies ergibt alle Kombinationen mit einem entfernten Gegenstand plus alle Kombinationen mit 2 entfernten Gegenständen und so weiter. = Summe von C (k / N).

— Snicolas

Hausaufgaben?

Hinweis:

Denken Sie an den Binomialsatz:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

$x^ky^{n-k}$

— Erik
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