Wenn ich den Schätzer von beweise

Sei eine iid-Zufallsvariable mit pdf , wobei und . $X_i$ $f(\mathbf{x}|\theta)$ $E(X_i) = 6\theta^2$ $\theta > 0$

Ich habe einen Schätzer für den Parameter ( ) von als berechnet . Um zu beweisen, dass dies ein unvoreingenommener Schätzer ist, sollte ich beweisen, dass . Da jedoch , wäre es viel einfacher zu zeigen, dass $\theta$ $f(\mathbf{x}|\theta)$ $\hat{\theta} = \sqrt{\bar{x}/6}$ $E(\hat{\theta}) = E\left(\sqrt{\bar{x}/6}\right)$ $\hat{\theta}^2 = \bar{x}/6$

\begin{aligned} E ({\hat{θ}}^{2}) & = E (\bar{x} / 6) \\ = \frac{1}{6} E (\frac{\sum X_{i}}{n}) \\ = \frac{1}{6 n} \sum E (X_{i}) \\ = \frac{1}{6 n} n 6 θ^{2} \\ = θ^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} E(\hat{\theta}^2) &= E(\bar{x}/6) \\ &=\frac{1}{6}E\left(\frac{\sum X_i}{n}\right)\\ &=\frac{1}{6n}\sum E(X_i) \\ &=\frac{1}{6n}n6\theta^2 \\&= \theta^2.\end{align}$

Im Allgemeinen ist das Beweisen von nicht dasselbe wie das Beweisen von , da auch . In diesem Fall ist jedoch . $x^2 =4$ $x=2$ $x$ $-2$ $\theta>0$

Ich habe gezeigt, dass $\hat{\theta}^2$ unvoreingenommen ist. Reicht dies aus, um zu zeigen, dass $\hat{\theta}$ unvoreingenommen ist?

— kingledion
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Ihr Titel scheint keinen Sinn zu ergeben. es scheint sich um das Schätzen einer Zufallsvariablen zu handeln - was Sie schätzen, ist ein Parameter; Ihr letzter Satz sagt: "Ich habe gezeigt, dass unverzerrt ist $, aber Parameter sind nicht voreingenommen oder unvoreingenommen, ... Schätzer von Parametern sind. Bitte bearbeiten Sie, damit Ihre Frage klar ist.

θ^{2}

$θ^2$

— Glen_b -Reinstate Monica

Weitere Informationen zu Fragen im Stil von Hausaufgaben (Routine-Lehrbuch) finden Sie in der Hilfe (die Diskussion gilt unabhängig davon, ob es sich tatsächlich um Hausaufgaben handelt oder nicht). Fügen Sie dann das self-studydort vorgeschlagene Tag hinzu und ändern Sie Ihre Frage, um den Richtlinien zum Stellen solcher Fragen zu folgen. Insbesondere müssen Sie klar identifizieren, was Sie getan haben, um das Problem selbst zu lösen, und die spezifische Hilfe angeben, die Sie an dem Punkt benötigen, an dem Sie auf Schwierigkeiten gestoßen sind.

— Glen_b -Rate State Monica

Mögliches Duplikat: stats.stackexchange.com/questions/271319/…

— Taylor

@ Taylor, sie sind sicherlich verwandt, aber die Frage hier hat nicht die gleiche Antwort wie die Frage dort.

— Glen_b -Rate State Monica

@Glen_b ist richtig, die Terminologie ist hier falsch. Aber ich vermute, Sie fragen sich vielleicht, ob ein Schätzer für unverzerrt ist, dann ist die Quadratwurzel dieses Schätzers für . Nein ist es nicht.

θ^{2}

$\theta^2$

θ

$\theta$

— Gammer

Antworten:

Angenommen, ist für unvoreingenommen , dh , dann wegen Jensens Ungleichung, $Q$ $\theta^2$ $E(Q) = \theta^2$

\sqrt{E (Q)} = θ < E (\sqrt{Q})

$\sqrt{ E(Q) } = \theta < E \left( \sqrt{Q} \right)$

So vorgespannt ist hoch, dh es wird Überhöhung im Durchschnitt. $\sqrt{Q}$ $\theta$

Hinweis : Dies ist eine strikte Ungleichung (dh not ), da keine entartete Zufallsvariable und die Quadratwurzel keine affine Transformation ist. $<$ $\leq$ $Q$

— gammer
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Beachten Sie, dass für jeden Schätzer (mit endlichem zweiten Moment) gleich ist Nur wenn (was leicht zu überprüfen ist, gilt nicht). $E(\widehat{\theta^2}) - E(\hat\theta)^2$ $=$ $\text{Var}(\hat\theta)\geq 0$ $\text{Var}(\hat\theta)=0$

Ersetzen Sie den ersten Term auf der linken Seite dieser Ungleichung, indem Sie Ihr Ergebnis für die Unparteilichkeit von und dann die Tatsache verwenden, dass und beide positiv sind, zeigen Sie is voreingenommen, nicht unvoreingenommen, wie Sie angenommen haben. (Im Allgemeinen könnten Sie Jensens Ungleichung anwenden, aber sie wird hier nicht benötigt.) $\widehat{\theta^2}$ $\theta$ $\hat \theta$ $\hat \theta$

Beachten Sie, dass sich dieser Beweis nicht auf die Einzelheiten Ihres Problems bezieht. Wenn für einen nicht negativen Schätzer eines nicht negativen Parameters sein Quadrat für das Quadrat des Parameters unverzerrt ist, muss der Schätzer selbst voreingenommen sein, es sei denn, der Die Varianz des Schätzers ist . $0$

— Glen_b -State Monica
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+1 Ich verlinke nur auf den Wikipedia-Artikel über Jensens Ungleichung , da ich ihn sehr hilfreich fand, als ich vor ein paar Jahren ähnliche Fragen durcharbeitete

— Rose Hartman

Das ist wirklich klar und cool!

— Zen