Wenn

Ich bin auf einen Beweis für eine der Eigenschaften des ARCH-Modells gestoßen, der besagt, dass, wenn , stationär ist, wenn wobei das ARCH-Modell: $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ $\{X_t\}$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Der Hauptgedanke der nachzuweisen ist , zu zeigen , dass kann als AR (p) -Prozess und wenn geschrieben werden gilt, dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Polynoms liegen außerhalb des Einheitskreises und daher ist stationär. Dann heißt es, dass also stationär ist. Wie folgt das? $X_t^2$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ $\{X_t^2\}$ $\{X_t\}$

mathematical-statistics stationarity garch

— Schüler
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Im Allgemeinen nicht. Sie können sich einen Prozess vorstellen, bei dem

stationär ist, aber

X_{t}

$X_t$

in bestimmten Intervallen, aber

X_{t} = \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t = \sqrt{X_t^2}$

in einem anderen Zeitintervall. Vielleicht weit hergeholt, aber eine mathematische Möglichkeit.

X_{t} = - \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t=-\sqrt{X_t^2}$

— kjetil b halvorsen

$X^2_t$ $X_t$ $X_t$

$X^2_t$ $X_t$

$2^{nd}$

$E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
$Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
$Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Aber um die zweite Bedingung zu beweisen, mussten sie eine konstante bedingungslose Varianz von beweisen $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

$X^2_{t}$ $AR(p)$

\begin{aligned} V a r (X_{t}) = & E (V a r (X_{t}) | F_{t - 1}) + V a r (E (X_{t} | F_{t - 1})) \\ = & E (V a r (u_{t} | F_{t - 1})) b e c a u s e t h e l a s t t e r m i s 0 \\ = & E (b_{0} + b_{1} X_{t - 1}^{2} + . . . b_{p} X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} E (X_{t - 1}^{2}) + . . . b_{p} E (X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} v a r (X_{t - 1}) + . . . b_{p} v a r (X_{t - p}) \end{aligned}

$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write:

v a r (X_{t - 1}) = . . . = v a r (X_{t - p}) = \frac{b_{0}}{1 - b_{1} - . . . - b_{p}} w h i c h i s a l a s c o n s t a n t!

$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$

— machazthegamer
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— machazthegamer