Warum ist die Summe der Stichproben-Autokorrelationen einer stationären Reihe gleich -1/2?

Ich kann mich nicht mit dieser Eigenschaft stationärer Reihen und der Autokorrelationsfunktion auseinandersetzen. Das muss ich beweisen

\begin{aligned} \sum_{h = 1}^{n - 1} \hat{ρ} (h) = - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{h=1}^{n-1}\hat\rho(h)=-\frac{1}{2} \end{align}$

Wobei und die Autokovarianzfunktion ist $\hat\rho(h)=\displaystyle\frac{\hat\gamma(h)}{\hat\gamma(0)}$ $\hat\gamma(h)$

\begin{aligned} \hat{γ} (h) = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - h} (X_{t} - \bar{X}) (X_{t + h} - \bar{X}) \end{aligned}

$\begin{align} \hat\gamma(h) = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X}) \end{align}$

Hoffentlich kann mir jemand mit einem Beweis helfen oder mich zumindest in die richtige Richtung weisen.

time-series autocorrelation stationarity

— Ernesto
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Hinweis: Durch Subtrahieren einer Konstanten von allen

X_{t}

$X_t$ , die nichts von

ändert

\hat{γ} (h)

$\hat\gamma(h)$ , können Sie

0 = \sum_{t = 1}^{n} X_{t}

$0=\sum_{t=1}^nX_t$ . Quadrieren Sie das und suchen Sie nach Teilen, die Ihren beiden Summen entsprechen.

— whuber

Danke für die Antwort. Ich verstehe, dass das Subtrahieren einer Konstante keinen der , aber ich verstehe nicht, warum ich davon ausgehen kann, dass die Summe der Reihen gleich 0 ist.

\hat{γ} (h)

$\hat{\gamma}(h)$

— Ernesto

Subtrahieren Sie genau die Konstante, die gleich 0 macht. Jetzt wird Ihr vereinfacht (weil die neuen den Mittelwert 0 haben) und die Terme sind viel einfacher zu spielen (aber ohne Verlust der Allgemeinheit).

\sum X_{t}

$\sum X_t$

\hat{γ}

$\hat\gamma$

X_{t}

$X_t$

— Glen_b -Rate State Monica

Es scheint, es sollte statt

1 / (n - h)

$1/(n-h)$

1 / n

$1/n$

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Ich glaube, beide Versionen sind gültige Schätzer der Autokovarianzfunktion mit den gleichen asymptotischen Eigenschaften, aber ich habe irgendwo gelesen, dass bevorzugt wird. (Der Grund ist, dass die Matrix positiv semi-definit ist, ich bin kein Mathematiker, also kann ich diesen Grund nicht wirklich erklären!)

1 / n

$1/n$

\hat{γ} (i - j)

$\hat{\gamma}(i-j)$

— Ernesto

Beginnen wir mit der Darstellung der Summe Verwendung der Definition der Autokorrelationsfunktion: $S$

S = \sum_{h = 1}^{n - - 1} \hat{ρ} (h) = \sum_{h = 1}^{n - - 1} (\frac{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n - - h} ({X.}_{t} - - \bar{X.}) ({X.}_{t + h} - - \bar{X.})}{\frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} ({X.}_{t} - - \bar{X.})^{2}})

$\begin{equation} S = \sum_{h=1}^{n-1} \hat{\rho}(h) = \sum_{h=1}^{n-1} \left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}(X_t-\bar{X})^2}\right) \end{equation}$

Der Nenner hängt nicht von so dass wir die vordere vereinfachen und zum Zähler verschieben können, was uns ergibt: $h$ $\sum$

S. = \frac{\sum_{h = 1}^{n - - 1} \sum_{t = 1}^{n - - h} ({X.}_{t} - - \bar{X.}) ({X.}_{t + h} - - \bar{X.})}{\sum_{t = 1}^{n} ({X.}_{t} - - \bar{X.})^{2}}

$\begin{equation} S = \frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h} (X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{\sum_{t=1}^{n} (X_t-\bar{X})^2} \end{equation}$

Betrachten Sie nun den Nenner. Wie stellen wir dar, damit wir einen Ausdruck erhalten, der dem Zähler ähnlich ist? Setze . Dann istDer Nenner hier ist . Wir wissen, dass , dh Subtrahieren aller eindeutigen Paare 2. Weil , es folgt, dass . $Y_t=X_t-\bar{X}$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0.$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2}$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$ $\times$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t=0$ $\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$

, wird der Nenner . Dann, $- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})$

S. = \frac{\sum_{h = 1}^{n - - 1} \sum_{t = 1}^{n - - h} ({X.}_{t} - - \bar{X.}) ({X.}_{t + h} - - \bar{X.})}{- - 2 \sum_{h = 1}^{n - - 1} \sum_{t = 1}^{n - - h} ({X.}_{t} - - \bar{X.}) ({X.}_{t + h} - - \bar{X.})} = - - \frac{1}{2}

$\begin{equation} S=\frac{\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}{- 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}(X_t-\bar{X})(X_{t+h}-\bar{X})}= -\frac{1}{2} \end{equation}$

Hoffe das hilft!

— Dilly Minch
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Vielen Dank, ich werde diese Antwort gleich akzeptieren, ich habe nur eine letzte Frage. Bis auf diesen Teil ist mir alles klar: . Ich verstehe nicht, wie wir die Doppelsumme hier aufnehmen können. Ich gehe davon aus, dass es sich um eine Eigenschaft oder Identität der Summe handelt.

\sum_{t = 1}^{n} Y_{t}^{2} = {(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})}^{2} - 2 \sum_{h = 1}^{n - 1} \sum_{t = 1}^{n - h} Y_{t} Y_{t + h}

$\sum_{t=1}^{n}Y_t^{2} = \left(\sum_{t=1}^{n}Y_t\right)^2 - 2\sum_{h=1}^{n-1} \sum_{t=1}^{n-h}Y_t Y_{t+h}$

— Ernesto

Versuchen Sie dazu, . Sie erhalten die Summe von , dann sind die restlichen Terme vom Typ für , von denen jeder aufgrund der Symmetrie zweimal in der Erweiterung vorkommt. Die doppelte Summierung ergibt sich nun aus der folgenden Aufzählung dieser Paare: Für zählen wir usw. Für zählen wir usw., bis wir für das endgültige Paar erreichen .

(\sum_{t = 1}^{n} Y_{t})^{2}

$(\sum_{t=1}^n Y_t)^2$

Y_{t}^{2}

$Y_t^2$

Y_{i} Y_{j}

$Y_iY_j$

i \neq j

$i\neq j$

Y_{1}

$Y_1$

Y_{2}, Y_{3}

$Y_2, Y_3$

Y_{2}

$Y_2$

Y_{3}, Y_{4}

$Y_3,Y_4$

Y_{n - 1}

$Y_{n-1}$

Y_{n - 1} Y_{n}

$Y_{n-1}Y_n$

— Dilly Minch