Wahrscheinlichkeit von Gamma größer als exponentiell

Sei und . $X \sim Gamma(3,3)$ $Y \sim Exp(1)$

Wie berechne ich ? $P(X>Y)$

Ich glaube, ich schreibe es als , bin mir aber nicht sicher, wie ich für zwei verschiedene Verteilungen berechnen soll ? $P(X-Y>0)$ $X-Y$

probability distributions exponential

— Joe Stats
quelle

Mögliches Duplikat der Differenz der Gamma-Zufallsvariablen

— COOLSerdash

Hier ist ein Artikel, der sich mit Ihrem Problem befasst. Ich glaube, dass es in Ihrem Fall möglich ist, eine Dichte in enger Form für zu erhalten . Beachten Sie, dass eine Standard-Exponentialverteilung eine -Verteilung ist.

X - Y

$X-Y$

G a m m a (1, 1)

$\mathrm{Gamma}(1, 1)$

— COOLSerdash

@COOL Obwohl dieser Ansatz funktionieren wird, scheint es ein zu komplizierter Weg zu sein, eine einzelne Wahrscheinlichkeit zu finden: Wir müssen nicht die gesamte Verteilung der Differenz herausfinden.

— whuber

Die entscheidende Annahme der Unabhängigkeit von und fehlt.

X

$X$

Y

$Y$

— Hartnäckig

Antworten:

Wenn die Dichtefunktion und unabhängig hat hat die Dichtefunktion , dann $X$ $\lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{\{x\colon x > 0\}}$ $Y$ $\exp(-y)\mathbf 1_{\{y\colon x > 0\}}$

\begin{aligned} P {X < Y} & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- λ x) \int_{x}^{\infty} \exp (- y) d y d x \\ = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} \int_{0}^{\infty} (λ + 1) \frac{((λ + 1) x)^{2}}{Γ (3)} \exp (- (λ + 1) x) d x \\ = {(\frac{λ}{λ + 1})}^{3} . \end{aligned}

$\begin{align} P\{X < Y\} &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-\lambda x) \int_{x}^\infty \exp(-y)\, \mathrm dy \, \mathrm dx\\ &= \int_{0}^\infty \lambda \frac{(\lambda x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3\int_{0}^\infty (\lambda+1) \frac{((\lambda+1) x)^2}{\Gamma(3)}\exp(-(\lambda+1) x)\, \mathrm dx\\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3. \end{align}$

Betrachten Sie auch einen Poisson-Prozess mit der Ankunftsrate . Wir können diesen Prozess in zwei unabhängige Poisson-Unterprozesse und der Raten bzw. zerlegen, indem wir jede Ankunft als zum Prozess gehörend kennzeichnen (mit der Wahrscheinlichkeit ) oder zum Prozess (mit der Wahrscheinlichkeit ), wobei jedes Label unabhängig von allen anderen Labels ausgewählt wird. Dann kann als die Zeit der dritten Ankunft (nach ) im $\lambda+1$ $\mathcal X$ $\mathcal Y$ $\lambda$ $1$ $\mathcal X$ $\frac{\lambda}{\lambda+1}$ $\mathcal Y$ $\frac{1}{\lambda+1}$ $X$ $t = 0$ $\mathcal X$ Unterprozess, während die Zeit der ersten Ankunft (nach ) im Unterprozess ist. Bei dieser Interpretation ist nur das Ereignis, dass die ersten drei Ankünfte nach alle als zum Unterprozess gehörend gekennzeichnet wurden, und dieses Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit . Schau, Ma! Es wurden keine Integrale berechnet, um zur Antwort zu gelangen! $Y$ $t = 0$ $\mathcal Y$ $X < Y$ $t=0$ $\mathcal X$ $\displaystyle \left(\frac{\lambda}{\lambda+1}\right)^3$

— Dilip Sarwate
quelle

Es gibt eine Beziehung zwischen Gamma- und Beta-Zufallsvariablen, die zu einem allgemeinen Ausdruck für für zwei unabhängige Gamma-Zufallsvariablen führt. $P[X>Y]$

Wenn und wobei der Formparameter ist, ist der Skalierungsparameter und das meine ist dann $X \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,\beta_1)$ $Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_2),$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha \beta,$

P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P[X>Y] = H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

Dabei ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Beta-Zufallsvariablen. In Ihrem Fall berechne ich $H$ $P[X>Y]=0.984375$

Wenn Sie eine andere Parametrisierung der Gammaverteilung verwendet haben, muss diese angepasst werden.

Hier ist die Entwicklung. Wir können undBetrachten Sie nun $\beta_1Y \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,\beta_1\beta_2)$ $\beta_2X \sim \rm{Gamma} (\alpha_1,\beta_1 \beta_2).$

W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X}

$W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}$

Es ist bekannt (siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution , Abschnitt "Verwandte Verteilungen und Eigenschaften"), dass eine Beta-Verteilung mit dem ersten Formparameter und dem zweiten Formparameter $W$ $\alpha_2$ $\alpha_1.$

Also dann

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}),

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right),$

Dabei ist die kumulative Verteilungsfunktion einer Beta-Zufallsvariablen. $H$

Nehmen Sie die Wechselwirkungen und vereinfachen Sie

P [W = \frac{β_{1} Y}{β_{1} Y + β_{2} X} < \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}] = P [\frac{β_{1} Y + β_{2} X}{β_{1} Y} > \frac{β_{1} + β_{2}}{β_{1}}]

$P \left[ W = \frac{\beta_1Y}{\beta_1Y+\beta_2X}<\frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right]=P \left[ \frac{\beta_1Y+\beta_2X}{\beta_1Y} > \frac{\beta_1+\beta_2}{\beta_1} \right]$

= P [1 + \frac{β_{2} X}{β_{1} Y} > 1 + \frac{β_{2}}{β_{1}}] = P [\frac{X}{Y} > 1] = P [X > Y] = H_{α_{2}, α_{1}} (\frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}})

$= P \left[ 1 + \frac{\beta_2X}{\beta_1Y}>1+\frac{\beta_2}{\beta_1} \right]=P \left[ \frac{X}{Y} >1 \right] =P \left[ X>Y \right] =H_{\alpha_2,\alpha_1} \left( \frac{\beta_1}{\beta_1+\beta_2} \right)$

— soakley
quelle

Könnten Sie dieses Ergebnis demonstrieren oder eine zugängliche Referenz zitieren? Es fällt mir schwer zu verstehen, warum es wahr sein sollte. Lassen Sie zum Beispiel und überlegen Sie, was passiert, wenn groß wird. Die rechte Seite nähert sich von unten, während sich die linke Seite nähern sollte .

α_{1} = α_{2} = β_{2} = 1

$\alpha_1=\alpha_2=\beta_2=1$

β_{1}

$\beta_1$

F_{1, 1} (1) = 0.391826 \dots

$F_{1,1}(1) = 0.391826\ldots$

1

$1$

— whuber

Woher bekommen Sie ? Wie bereits erwähnt, ist das cdf einer Beta-Zufallsvariablen. Also istIch sehe jedoch, wie die Notation irreführend sein kann. Ich werde einige Entwicklungen hinzufügen, um das Ergebnis zu zeigen, wenn ich Zeit habe.

F_{1, 1} (1) = 0.391826

$F_{1,1}(1)=0.391826$

F

$F$

F_{1, 1} (1) = 1.

$F_{1,1}(1)=1.$

— Soakley

Entschuldigung, ich habe den "Beta" -Teil übersehen und angenommen, dass Sie sich auf die (eng verwandte) F-Verhältnisverteilung beziehen! Danke für die Erklärung.

— whuber

@whuber soakley Ich glaube, das geht ungefähr so: wobei und sind Einheit skalierten Versionen von und . Verwenden Sie ( Wikipedia ) und beachten Sie, dass , wir setzen gibt .

P [X > Y] = P [Y^{*} < \frac{β_{2}}{β_{1}} X^{*}]

$P[X>Y] = P[Y^* < \frac{\beta_2}{\beta_1} X^*]$

X^{*} \sim G a m m a (α_{1}, 1)

$X^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_1,1)$

Y^{*} \sim G a m m a (α_{2}, 1)

$Y^* \sim \rm{Gamma}(\alpha_2,1)$

X

$X$

Y

$Y$

\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} \sim B e t a (α_{2}, α_{1})

$\frac{Y^*}{Y^*+X^*} \sim \rm{Beta}(\alpha_2,\alpha_1)$

P [\frac{Y^{*}}{Y^{*} + X^{*}} < c] = P [Y^{*} < \frac{c}{1 - c} X^{*}]

$P[\frac{Y^*}{Y^*+X^*} < c] = P[Y^* < \frac{c}{1-c}X^*]$

\frac{c}{1 - c} = \frac{β_{2}}{β_{1}}

$\frac{c}{1-c} = \frac{\beta_2}{\beta_1}$

c = \frac{β_{1}}{β_{1} + β_{2}}

$c = \frac{\beta_1}{\beta_1 + \beta_2}$

— A. Webb

Ja, ich habe die Entwicklung hinzugefügt und das Beta-PDF so geändert, dass es als wird, um Verwechslungen mit einer Distribution zu vermeiden .

H

$H$

F

$F$

— Soakley

Die rote Methode zur Berechnung von ist das Doppelintegral $P[Y>X]$

\int_{0}^{\infty} f_{X.} (x) d x \int_{x}^{\infty} f_{Y.} (y) d y

$\int_0^\infty f_X(x) dx \int_x^\infty f_Y(y) dy$

Wo das innere Integral als Überlebensfunktion von erkannt werden kann , ist ein Exponential mit dem Parameter bei gleich . Dann das verbleibende Integral $Y$ $\lambda=1$ $x$ $e^{-x}$

\int_{0}^{\infty} e^{- - x} f_{X.} (x) d x

$\int_0^\infty e^{-x} f_X(x) dx$

kann als die Momenterzeugungsfunktion von erkannt werden, die bei bewertet wird . Der MGF von a ist , was für ist $X$ $-1$ $\rm{Gamma}$ $(1-\theta t)^{-k}$ $\theta = 3, k=3, t=-1$

(1 + 3)^{- - 3} = 0,015625

$(1+3)^{-3} = 0.015625$

Die Frage war für , also wollen wir $P[X>Y] = 1-P[Y>X]$

1 - - (1 + 3)^{- - 3} = 1 - - 0,015625 = 0,984375

$1-(1+3)^{-3} = 1-0.015625 = 0.984375$

was mit Soakleys Antwort übereinstimmt .

— A. Webb
quelle