Kommt die Umwandlung von r in Fisher z einer Metaanalyse zugute?

Normalerweise wird in Fisher transformiert , um die Differenz zwischen zwei Werten zu testen . Aber warum sollten wir einen solchen Schritt unternehmen, wenn eine Metaanalyse durchgeführt werden soll? Korrigiert es Messfehler oder Nicht-Stichprobenfehler und warum sollten wir annehmen, dass eine unvollständige Schätzung der Populationskorrelation ist? $r$ $z$ $r$ $r$

— Subhash C. Davar
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Der letzte Teil Ihrer Frage ("Warum sollten wir annehmen, dass r eine unvollständige Schätzung der Populationskorrelation ist?") Hat nichts mit dem vorherigen Teil zu tun. Und was meinst du mit "unvollkommen"? Meinst du voreingenommen?

— Wolfgang

@subhash: Können Sie genauer angeben, was Sie unter "Korrektur für Messfehler oder Nicht-Stichprobenfehler" verstehen? Die Beantwortung Ihrer Frage ist möglicherweise einfacher, wenn Sie diese Begriffe eindeutig definieren können, z. B. indem Sie sie in Form von Zufallsvariablen, Verteilungen, Parametern oder Schätzern ausdrücken.

— Adam Hafdahl

In der Literatur gibt es tatsächlich eine ziemliche Debatte darüber, ob eine Metaanalyse mit den rohen Korrelationskoeffizienten oder mit den von r nach z transformierten Werten durchgeführt werden sollte. Abgesehen von dieser Diskussion gibt es jedoch zwei Gründe, warum die Transformation angewendet wird:

Viele metaanalytische Methoden gehen davon aus, dass die Stichprobenverteilung der beobachteten Ergebnisse (zumindest annähernd) normal ist. Wenn (die wahre Korrelation) in einer bestimmten Studie weit von 0 entfernt ist und die Stichprobengröße klein ist, wird die Stichprobenverteilung der (Roh-) Korrelation sehr verzerrt und wird durch eine Normalverteilung überhaupt nicht gut angenähert. Die r-zu-z-Transformation von Fisher ist zufällig eine ziemlich effektive normalisierende Transformation (obwohl dies nicht der Hauptzweck der Transformation ist - siehe unten). $\rho$
Viele metaanalytische Methoden gehen davon aus, dass die Stichprobenvarianzen der beobachteten Ergebnisse (zumindest annähernd) bekannt sind. Beispielsweise ist für den Rohkorrelationskoeffizienten die Stichprobenvarianz ungefähr gleich:

Var [r]] = \frac{((1 - - ρ^{2})^{2}}{n - - 1}

$\text{Var}[r] = \frac{(1-\rho^2)^2}{n-1}$

Um tatsächlich zu berechnen , müssen wir etwas gegen diesen unbekannten Wert von in dieser Gleichung unternehmen . Zum Beispiel könnten wir einfach die beobachtete Korrelation einstecken (dh $\text{Var}[r]$ $\rho$ $r$ ) in die Gleichung einfügen. Dies gibt uns eine Schätzung der Stichprobenvarianz, aber dies ist zufällig eine ziemlich ungenaue Schätzung (insbesondere bei kleineren Stichproben). Andererseits ist die Abtastvarianz einer von r nach z transformierten Korrelation ungefähr gleich:

Var [z]] = \frac{1}{n - - 3}

$\text{Var}[z] = \frac{1}{n-3}$

Beachten Sie, dass dies nicht mehr von unbekannten Mengen abhängt. Dies ist in der Tat die Varianzstabilisierungseigenschaft der r-zu-z-Transformation (die der eigentliche Zweck der Transformation ist).

— Wolfgang
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+1, das ist wirklich informativ und auf den Punkt. Ich wünschte, ich könnte mehr als einmal abstimmen.

— Gung - Reinstate Monica

@ Wolfgang Sehr interessant. Kann besser sein, wenn der metaanalytische Kontext verwendet wurde. r ist eine unvoreingenommene Schätzung (Hedges und Olkin, 1985). Sollten wir es für eine Metaanalyse der Stichprobenkorrelationen in Fisher's z umwandeln? Bitte erklären Sie aus diesem Blickwinkel.

— Subhash C. Davar

r

$r$

@subhash: Kannst du klarstellen, was du mit "r ist unvoreingenommen (für Messfehler)" meinst? Beziehen Sie sich auf einen Begriff aus der klassischen Testtheorie, wie er möglicherweise von F. Schmidt, J. Hunter und mehreren ihrer Kollegen und anderen Autoren in metaanalytischen Techniken zur Verallgemeinerung der Gültigkeit verwendet wird? Wie Sie vielleicht wissen, betonen ihre Methoden die Schätzung des Mittelwerts und der Varianz von "wahren" Korrelationen zwischen Studien, die für "Artefakte" "korrigiert" wurden (z. B. Unzuverlässigkeit, Bereichsbeschränkung, Dichotomisierung).

— Adam Hafdahl

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

ζ = \tanh^{- 1} ρ

$\zeta = \tanh^{-1} \rho$

ρ

$\rho$

ζ

$\zeta$