Beweis, dass, wenn ein höheres Moment existiert, auch ein niedrigeres Moment existiert

Das te Moment einer Zufallsvariablen ist endlich, wenn $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Ich versuche zu zeigen, dass für jede positive ganze Zahl der te Moment ist auch endlich. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function

— nona
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Ist das Hausaufgaben? Wenn ja, was haben Sie bisher versucht? Außerdem habe ich versucht, Ihre Frage lesbarer zu machen. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn ich einen Fehler gemacht habe.

— Gschneider

Ich habe das Billingsley-Lehrbuch gelesen und im Internet gesucht, aber es gibt keinen genauen Beweis. Was ich gefunden habe, ist nur ein Hinweis, vielleicht kann Jensens Ungleichung verwendet werden.

— Nona

Überlegen Sie, ob Sie

umschreiben

als

und sehen, ob das Sie irgendwohin bringt.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

— Gschneider

Es gibt einen Unterschied zwischen einem existierenden und einem endlichen Moment . Insbesondere kann ein Moment existieren, aber unendlich sein. Die Terminologie, in die Sie eingeführt werden, ist etwas ungenau. In jedem Fall ist dies ein Standardergebnis über

-Räume; es ist nicht wahr, dass "kein genauer Beweis existiert". :)

L_{p}

$L_p$

— Kardinal

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— StasK
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Fein. Sie können es auch mit Hilfe von Jensens Ungleichung beweisen.

— Stéphane Laurent

(+1) Ich mag das, weil es nur auf den grundlegendsten Eigenschaften der Erwartung beruht, nämlich der Monotonie. Wenn man sich Sorgen macht, was man mit der rechten Seite machen soll, kann man feststellen, dass

. Wenn man eine Anwendung von Jensen bevorzugt, kann man

schreiben

und beachte, dass

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— Kardinal

@cardinal: (+1) I prefer your inequality as it directly involves

| X |^{r}

$|X|^r$ ...

— Xi'an