Sei die Ordnungsstatistik. Bewerten Sie ,

Sei die Ordnungsstatistik für eine Zufallsstichprobe der Größe aus einer Normalverteilung mit Mittelwert und Varianz . $X_{(1)}\leq X_{(2)}$ $2$ $\mu$ $\sigma ^{2}$

Bewerten Sie , , , und . $\operatorname{E}(X_{(1)})$ $\operatorname{E}(X_{(2)})$ $\operatorname{Var}(X_{(1)})$ $\operatorname{Var}(X_{(2)})$ $\operatorname{Cov}(X_{(1)},X_{(2)})$

Mein Versuch: Im Allgemeinen weiß ich für eine Zufallsstichprobe der Größe mit der Verteilungsfunktion und der Dichtefunktion , dass die Gelenkdichtefunktion von durch Insbesondere nach mehreren Berechnungen haben wir in unserem Fall $2$ $F$ $f$ $X_{(j)}$

f_{X_{(j)}} (t) = \frac{n!}{(j - 1)! (n - j)!} {[F (t)]}^{j - 1} {[1 - F (t)]}^{n - j} f (t) - \infty < t < \infty .

$f_{X_{(j)}}(t)=\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}\left[F(t)\right]^{j-1}\left[1-F(t)\right]^{n-j}f(t) \qquad -\infty<t<\infty .$

f_{X_{(j)}} (t) = {\begin{cases} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} [1 - e r f (\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})] e^{- {(\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})}^{2}} & If j = 1 \\ \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} [1 + e r f (\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})] e^{- {(\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})}^{2}} & If j = 2 \end{cases} .

$f_{X_{(j)}}(t)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\left[1-\mathrm{erf}\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]e^{-\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)^{2}} & \mbox{If }j=1 \\ \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]e^{-\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)^{2}} & \mbox{If }j=2 \end{array}\right. .$ für .

- \infty < t < \infty

$-\infty<t<\infty$

Daher ist die Erwartung

E (X_{(j)}) = {\begin{cases} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} t [1 - e r f (\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})] e^{- {(\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})}^{2}} d t & If j = 1 \\ \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} t [1 + e r f (\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})] e^{- {(\frac{t - μ}{σ \sqrt{2}})}^{2}} d t & If j = 2 \end{cases} .

$E(X_{(j)})=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t\left[1-\mathrm{erf}\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]e^{-\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)^{2}}dt} & \mbox{If }j=1 \\ \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)\right]e^{-\left(\frac{t-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)^{2}}dt} & \mbox{If }j=2 \end{array}\right. .$

Die Probleme beginnen, wenn ich , und berechnen möchte. weil ich die Dichtefunktion der Zufallsvariablen von für und , I nicht kenne Ich konnte diese Dichten nicht berechnen, das ist im Grunde das, was ich brauche, obwohl ich nicht weiß, ob es einen anderen Weg gibt, dies alles zu machen, ohne diese Dichten berechnen zu müssen. $\operatorname{Var}(X_{(1)})$ $\operatorname{Var}(X_{(2)})$ $\operatorname{Cov}(X_{(1)},X_{(2)})$ $X_{(j)}^{2}$ $j=1,2$ $X_{(1)}X_{(2)}$

distributions expected-value order-statistics

— Diego Fonseca
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Willkommen bei stats.SE! Bitte nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um unsere Tour anzusehen . Ihre Frage lautet, als wäre es ein Hausaufgabenproblem. Wenn dies der Fall ist, lesen Sie bitte unser Wiki zum Thema Selbststudium und fügen Sie Ihrer Frage das Tag zum Selbststudium hinzu .

— Tavrock

Ich denke, dies ist ein Schritt in die richtige Richtung. Stats.stackexchange.com/questions/61080/…, aber es würde einige Arbeit erfordern, um die Ergebnisse hier anzuwenden.

— Sycorax sagt Reinstate Monica

Antworten:

Wenn zwei Variablen sind identisch mit einer kontinuierlichen Verteilung mit einer Dichte verteilt die gemeinsame PDF ihrer Ordnungsstatistiken ist $(X_1,X_2)$ $f$ $(X_{(1)}, X_{(2)})$

\begin{matrix} (1) & 2 f (x_{1}) f (x_{2}) I (x_{2} > x_{1}) . \end{matrix}

$2 f(x_1) f(x_2) \mathcal{I}(x_2 \gt x_1).\tag{1}$

Wir wissen, wie Momente von den Ortsparametern und den Skalierungsparametern abhängen , daher reicht es aus, das Problem für und zu lösen . $\mu$ $\sigma$ $\mu=0$ $\sigma=1$

Diese Figuren veranschaulichen die folgende Analyse. Links ist ein Konturdiagramm der Verbindungsdichte von . In der Mitte befindet sich ein Konturdiagramm der Gelenkdichte der Ordnungsstatistik (es ist im Aussehen identisch mit dem linken Diagramm, jedoch auf den Bereich ; alle Konturen Die Werte wurden ebenfalls verdoppelt, zusammen mit Vektoren, die die neuen Variablen . Rechts ist die Gelenkdichte in -Koordinaten zusammen mit Vektoren dargestellt, die die Ordnungsstatistik darstellen . Das Berechnen der Momente in -Koordinaten ist einfach. Einfache Formeln verbinden diese Momente mit den Momenten der ursprünglichen Auftragsstatistik. $(X_1,X_2)$ $(1)$ $x_{(2)}\ge x_{(1)}$ $(U,V)$ $(u,v)$ $(X_{(1)}, X_{(2)})$ $(u,v)$

Angenommen, ist symmetrisch (wie alle Normalverteilungen). Da und die gleiche Verteilung, sagen wir, und offensichtlich sagen wir. $f$ $X_1 + X_2 = X_{(1)} + X_{(2)}$ $(-X_{(2)}, -X_{(1)})$

- E (X_{(1)}) = E (X_{(2)}) = ν,

$-\mathbb{E}(X_{(1)}) = \mathbb{E}(X_{(2)}) = \nu,$

Var (X_{(1)}) = Var (X_{(2)}) = τ^{2},

$\operatorname{Var}(X_{(1)})= \operatorname{Var}(X_{(2)}) = \tau^2,$

An dieser Stelle nutzen wir einige spezielle Eigenschaften von Normalverteilungen. Beim Drehen von im Uhrzeigersinn um zu und , dies wird die Dichte einer bivariaten Standardnormalvariablen , die auf die Domäne abgeschnitten wurde . Es ist unmittelbar, dass eine Standardnormalverteilung und eine Halbnormalverteilung hat. Folglich $(X_{(1)}, X_{(2)})$ $\pi/4$ $U=(X_{(1)}+X_{(2)})/\sqrt{2}$ $V=(X_{(2)}-X_{(1)})/\sqrt{2}$ $(U,V)$ $V \gt 0$ $U$ $V$

E (U) = 0, E (V) = \sqrt{\frac{1}{π}}, Var (U) = 1, and Var (V) = 1 - E (V)^{2} = 1 - \frac{1}{π} .

$\mathbb{E}(U)=0, \ \mathbb{E}(V) = \sqrt{\frac{1}{\pi}},\ \operatorname{Var}(U)=1,\ \text{and}\ \operatorname{Var}(V) = 1 - \mathbb{E}(V)^2 = 1 - \frac{1}{\pi}.$

Wenn Sie diese mit den ursprünglichen Variablen in Beziehung setzen, erhalten Sie

{\begin{cases} 1 = Var (U) = Var (\frac{1}{\sqrt{2}} (X_{1} + X_{2})) = \frac{1}{2} (τ^{2} + τ^{2} + 2 Cov (X_{1}, X_{2})) \\ 1 - \frac{1}{π} = Var (U) = \dots = \frac{1}{2} (τ^{2} + τ^{2} - 2 Cov (X_{(1)}, X_{(2)})) . \end{cases}

$\cases{ 1 = \operatorname{Var}(U) = \operatorname{Var}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(X_1+X_2\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\tau^2 + \tau^2+2\operatorname{Cov}(X_1,X_2)\right) \\ 1 - \frac{1}{\pi} = \operatorname{Var}(U) = \cdots = \frac{1}{2}\left(\tau^2 + \tau^2-2\operatorname{Cov}(X_{(1)},X_{(2)})\right). }$

Die Lösung für diese simultanen linearen Gleichungen ist

τ^{2} = 1 - \frac{1}{π}, Cov (X_{(1)}, X_{(2)}) = \frac{1}{2 π} .

$\tau^2 = 1 - \frac{1}{\pi},\ \operatorname{Cov}(X_{(1)},X_{(2)}) = \frac{1}{2\pi}.$

Auf die gleiche Weise ergibt das Ausdrücken der Erwartungen von und in Bezug auf die von und Gleichungen für deren Lösung . $U$ $V$ $X_{(1)}$ $X_{(2)}$ $\nu$ $\nu = \sqrt{1/\pi}$

Zurück zur ursprünglichen Frage, bei der die Variablen mit skaliert und um verschoben werden , müssen die Antworten daher lauten $\sigma$ $\mu$

E (X_{(i)}) = μ + (- 1)^{i} σ \sqrt{\frac{1}{π}}

$\mathbb{E}(X_{(i)}) = \mu + (-1)^i \sigma \sqrt{\frac{1}{\pi}}$

und

Var (X_{(1)}, X_{(2)}) = σ^{2} (\begin{matrix} 1 - \frac{1}{π} & \frac{1}{π} \\ \frac{1}{π} & 1 - \frac{1}{π} \end{matrix}) .

$\operatorname{Var}\left(X_{(1)}, X_{(2)}\right) = \sigma^2\pmatrix{1-\frac{1}{\pi} & \frac{1}{\pi} \\ \frac{1}{\pi} & 1 - \frac{1}{\pi}}.$

— whuber
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Bezieht sich der letzte Ausdruck auf "Kovarianz" oder "Varianz"? Warum ist es in beiden Fällen keine Zahl? Warum ist es eine Matrix?

— Diego Fonseca

Die Varianz einer vektorwertigen Zufallsvariablen ist die vollständige "Varianz-Kovarianz" -Matrix. Es enthält alle Varianzen und Kovarianzen der Komponenten der Variablen.

— whuber

W Huber, , nicht

E (X_{(1)}) = μ - σ \sqrt{1 / π}

$E(X_{(1)}) = \mu - \sigma \sqrt{1/\pi}$

- E (X_{(2)}) = - μ - σ \sqrt{1 / π}

$-E(X_{(2)}) = -\mu - \sigma \sqrt{1/\pi}$

— GoF_Logistic

@whuber In verstehe nicht, weil du sagst . Unter der Annahme von ist . Daher istIch sehe nicht, wie aus diesem letzten Ausdruck beide Varianzen in Beziehung gesetzt werden können.

Var (X_{(1)}) = Var (X_{(2)})

$\operatorname{Var}(X_{(1)})= \operatorname{Var}(X_{(2)})$

μ = 0

$\mu=0$

E (X_{(1)}^{2}) = 2 σ^{2} - E (X_{(2)}^{2})

$E(X_{(1)}^{2})=2\sigma^{2}-E(X_{(2)}^{2})$

Var (X_{(1)}) = E (X_{(1)}^{2}) - {[E (X_{(1)})]}^{2} = 2 σ^{2} - E (X_{(2)}^{2}) - {[E (X_{(2)})]}^{2} .

$\operatorname{Var}(X_{(1)})=E(X_{(1)}^2)-\left[E(X_{(1)})\right]^{2}=2 \sigma ^{2} - E(X_{(2)}^{2})-\left[E(X_{(2)})\right]^{2}.$

— Diego Fonseca

Wie ich bemerkte, sind die Verteilungen der beiden Ordnungsstatistiken negativ. Daher müssen ihre Abweichungen gleich sein.

— whuber

Hier ist eine Brute-Force-Antwort, der die Eleganz von Whubers Berechnungen fehlt, aber zu den gleichen Schlussfolgerungen gelangt.

Mit was unabhängige Standardzufallsvariablen bezeichnet, und wir haben und $X_i, i = 1, 2,$

(W, Z) = (min (X_{1}, X_{2}), max (X_{1}, X_{2})) = (X_{(1)}, X_{(2)}),

$(W,Z) = \left(\min(X_1,X_2),\max(X_1,X_2)\right) = \left (X_{(1)},X_{(2)}\right),$

f_{X_{1}, X_{2}} (x, y) = ϕ (x) ϕ (y)

$f_{X_1,X_2}(x,y)= \phi(x)\phi(y)$

f_{W, Z} (w, z) = {\begin{cases} 2 ϕ (x) ϕ (y), & z > w, \\ 0, & z < w, \end{cases}

$f_{W,Z}(w,z)= \displaystyle \begin{cases}\displaystyle 2\phi(x)\phi(y), & z>w,\\ \ \\ 0, & z<w, \end{cases}$

Dabei bezeichnet die Standardfunktion der normalen Dichte. Jetzt, $\phi(\cdot)$

\begin{aligned} E [W] & = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} w \cdot f_{W, Z} (w, z) d z d w \\ = \int_{0}^{\infty} \int_{π / 4}^{5 π / 4} r \cos (θ) \cdot \frac{1}{π} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) r d θ d r & change to polar coordinates \\ = {\int_{0}^{\infty} \sin (θ) |}_{π / 4}^{5 π / 4} \cdot \frac{1}{π} r^{2} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) d r \\ = - \frac{\sqrt{2}}{π} \int_{0}^{\infty} r^{2} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) d r & now re-write the constant \\ = - \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} r^{2} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) d r & and recognize the integral \\ = - \frac{1}{\sqrt{π}}, \end{aligned}

$\begin{align} E[W] &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty w\cdot f_{W,Z}(w,z)\, \mathrm dz\, \mathrm dw\\ &= \int_0^\infty \int_{\pi/4}^{5\pi/4} r\cos(\theta)\cdot \frac{1}{\pi} \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right)\, r\,\mathrm d\theta \, \mathrm dr &\scriptstyle{\text{change to polar coordinates}}\\ &= \left. \int_0^\infty \sin(\theta)\right|_{\pi/4}^{5\pi/4} \cdot \frac{1}{\pi} r^2 \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right) \, \mathrm dr\\ &= -\frac{\sqrt 2}{\pi}\int_0^\infty r^2 \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right) \, \mathrm dr &\scriptstyle{\text{now re-write the constant}}\\ &= -\frac{1}{\sqrt \pi}\int_{-\infty}^\infty r^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{-r^2}{2}\right) \, \mathrm dr &\scriptstyle{\text{and recognize the integral}}\\ &= -\frac{1}{\sqrt \pi}, \end{align}$

W + Z = X_{(1)} + X_{(2)} = X_{1} + X_{2}

$W+Z = X_{(1)}+X_{(2)} = X_1+X_2$ schließen wir, dass In ähnlicher Weise ist

E [Z] = E [X_{1} + X_{2}] - E [W] = 0 - (- \frac{1}{\sqrt{π}}) = \frac{1}{\sqrt{π}} .

$E[Z] = E[X_{1}+X_{2}]-E[W] = 0 - \left(-\frac{1}{\sqrt \pi}\right) = \frac{1}{\sqrt \pi}.$

\begin{aligned} E [W^{2}] & = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} w^{2} \cdot f_{W, Z} (w, z) d z d w \\ = \int_{0}^{\infty} \int_{π / 4}^{5 π / 4} r^{2} \cos^{2} (θ) \cdot \frac{1}{π} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) r d θ d r & change to polar coordinates \\ = {\int_{0}^{\infty} \frac{2 θ + \sin (2 θ)}{4} |}_{π / 4}^{5 π / 4} \cdot \frac{1}{π} r^{3} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} r^{3} \exp (\frac{- r^{2}}{2}) d r & now set r^{2} / 2 = t \\ = \int_{0}^{\infty} t \exp (- t) d t \\ = 1, \end{aligned}

$\begin{align} E[W^2] &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty w^2\cdot f_{W,Z}(w,z)\, \mathrm dz\, \mathrm dw\\ &= \int_0^\infty \int_{\pi/4}^{5\pi/4} r^2\cos^2(\theta)\cdot \frac{1}{\pi} \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right)\, r\,\mathrm d\theta \, \mathrm dr &\scriptstyle{\text{change to polar coordinates}}\\ &= \left. \int_0^\infty \frac{2\theta+\sin(2\theta)}{4}\right|_{\pi/4}^{5\pi/4} \cdot \frac{1}{\pi} r^3 \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right) \, \mathrm dr\\ &= \frac{1}{2}\int_0^\infty r^3 \exp\left(\frac{-r^2}{2}\right) \, \mathrm dr &\scriptstyle{\text{now set }r^2/2 = t}\\ &= \int_0^\infty t \exp\left(-t\right) \, \mathrm dt \\ &= 1, \end{align}$

W^{2} + Z^{2} = X_{(1)}^{2} + X_{(2)}^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2}

$W^2+Z^2 = X_{(1)}^2+X_{(2)}^2 = X_1^2+X_2^2$ , wir haben Daraus folgt, dass

E [W^{2} + Z^{2}] = 1 + E [Z^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{2}^{2}] = 2 ⟹ E [Z^{2}] = E [W^{2}] = 1.

$E[W^2+Z^2]= 1+E[Z^2]=E[X_1^2+X_2^2]=2 \implies E[Z^2] = E[W^2]=1.$

var (W) = var (Z) = 1 - \frac{1}{π} .

$\operatorname{var}(W) = \operatorname{var}(Z) = 1-\frac{1}{\pi}.$

Schließlich

\begin{aligned} cov (X_{(1)}, X_{(2)}) & = cov (W, Z) \\ = E [W Z] - E [W] E [Z] \\ = E [X_{1} X_{2}] + \frac{1}{π} \\ = E [X_{1}] E [X_{2}] + \frac{1}{π} & because X_{1} and X_{2} are independent \\ = \frac{1}{π} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{cov}(X_{(1)},X_{(2)})&= \operatorname{cov}(W,Z)\\ &= E[WZ] - E[W]E[Z]\\ &= E[X_1X_2] + \frac{1}{\pi}\\ &= E[X_1]E[X_2] + \frac{1}{\pi}&\scriptstyle{\text{because }X_1~\text{and }X_2~\text{are independent}}\\ &= \frac{1}{\pi} \end{align}$

Wenn und mit skaliert und mit in iid , erhalten wir $X_1$ $X_2$ $\sigma$ $\mu$ $N(\mu,\sigma^2)$

E [X_{(1)}] = μ - \frac{σ}{\sqrt{π}}, E [X_{(2)}] = μ + \frac{σ}{\sqrt{π}} var (X_{(1)}) = var (X_{(2)}) = σ^{2} (1 - \frac{1}{π}) cov (X_{(1)}, X_{(2)}) = \frac{σ^{2}}{π} .

$E[X_{(1)}] = \mu - \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}, \quad E[X_{(2)}] = \mu + \frac{\sigma}{\sqrt{\pi}}\\ \operatorname{var}(X_{(1)}) = \operatorname{var}(X_{(2)}) = \sigma^2\left(1-\frac{1}{\pi}\right)\\ \operatorname{cov}(X_{(1)},X_{(2)}) = \frac{\sigma^2}{\pi}.$

— Dilip Sarwate
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