Was ist ein "Unit Information Prior"?

Ich habe Wagenmakers (2007) gelesen. Eine praktische Lösung für das allgegenwärtige Problem der p-Werte . Ich bin fasziniert von der Umwandlung von BIC-Werten in Bayes-Faktoren und -Wahrscheinlichkeiten. Bisher habe ich jedoch keine guten Kenntnisse darüber, was genau eine Einheiteninformation zuvor ist. Ich wäre dankbar für eine Erklärung mit Bildern oder den R-Code zum Erzeugen von Bildern dieses bestimmten Vorgängers.

Der Einheitsinformationsprior ist ein datenabhängiger Prior (typischerweise multivariates Normal) mit einem Mittelwert bei der MLE und einer Genauigkeit, die der Information entspricht, die durch eine Beobachtung bereitgestellt wird. Ausführliche Informationen finden Sie beispielsweise in diesem technischen Bericht oder in diesem Dokument. Die Idee der UIP ist es, einen Prior zu geben, der "die Daten für sich selbst sprechen lässt"; In den meisten Fällen hat das Hinzufügen von Prior, das Ihnen sagt, dass eine Beobachtung zentriert ist, auf die die anderen Daten zeigen, nur geringe Auswirkungen auf die nachfolgende Analyse. Eine seiner Hauptanwendungen besteht darin, zu zeigen, dass die Verwendung von BIC in großen Stichproben der Verwendung von Bayes-Faktoren mit UIPs in ihren Parametern entspricht.

Es ist wahrscheinlich auch erwähnenswert, dass viele Statistiker (einschließlich Bayesianer) mit der Verwendung von Bayes-Faktoren und / oder BIC bei vielen angewandten Problemen nicht zufrieden sind.

Die vorherigen Einheiteninformationen basieren auf der folgenden Interpretation der Konjugation:

Installieren

• $X^{n}=(X_{1}, \ldots, X_{n})$$X_{i} \sim \mathcal{N}( \mu, \sigma^{2})$$\mu$$\sigma^2$$\bar{X} \sim \mathcal{N}(\mu, \tfrac{\sigma^{2}}{n} )$
• $\mu$$\mu \sim \mathcal{N} (a, \sigma^{2})$
• $\mu$$\mu \sim \mathcal{N} (M, v)$$M=\tfrac{1}{n+1}(a + n \bar{x})$$v= \tfrac{\sigma^2}{n+1}$

Deutung

$\bar{X}=\bar{x}$$\mu$$\bar{x}$$a$$\tfrac{\sigma^{2}}{n+1}$$n+1$$n$verglich die Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwerts. Beachten Sie, dass eine Stichprobenverteilung nicht mit einer posterioren Verteilung identisch ist. Trotzdem sieht die hintere Art so aus, dass die Daten für sich selbst sprechen. Daher mit der Einheit Informationen bekommt man eine posteriore , die hauptsächlich auf den Daten konzentriert, und geschrumpfte Richtung der Vorinformationen als Einmal Strafe.$\bar{x}$$a$

Kass und Wasserman zeigten außerdem, dass die Modellauswahl gegen mit dem oben angegebenen Prior mit dem Schwartz-Kriterium gut angenähert werden kann (im Grunde genommen) BIC / 2) wenn groß ist.$M_{0}:\mu=a$$M_{1}: \mu \in \mathbf{R}$$n$

Einige Anmerkungen:

• Die Tatsache, dass BIC einen Bayes-Faktor basierend auf einer vorherigen Einheiteninformation approximiert, bedeutet nicht, dass wir eine Einheiteninformation verwenden sollten, bevor wir einen Bayes-Faktor konstruieren. Jeffreys (1961) verwendet standardmäßig einen Cauchy vor der Effektgröße, siehe auch Ly et al. (im Druck) für eine Erklärung zu Jeffreys Wahl.
• Kass und Wasserman zeigten, dass der durch eine Konstante geteilte BIC (der das Cauchy mit einer Normalverteilung in Beziehung setzt) ​​immer noch als Annäherung an den Bayes-Faktor verwendet werden kann (diesmal basierend auf einem Cauchy-Prior anstelle eines normalen).

Verweise

• Jeffreys, H. (1961). Wahrscheinlichkeitstheorie . Oxford University Press, Oxford, Großbritannien, 3. Auflage.
• Kass, RE und Wasserman, L. (1995). "Ein Referenz-Bayes-Test für verschachtelte Hypothesen und seine Beziehung zum Schwarz-Kriterium", Journal of American Statistical Association , 90, 928-934
• Ly, A., Verhagen, AJ & Wagenmakers, E.-J. (im Druck). Harold Jeffreys 'Standard-Bayes-Faktor-Hypothesentests: Erklärung, Erweiterung und Anwendung in der Psychologie. Zeitschrift für Mathematische Psychologie.