Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit zusätzlicher Sonntage in einem Schaltjahr?

Wie groß ist die Chance, dass ein Schaltjahr 53 Sonntage hat?

Wird es laut meiner Verhandlung 2/7 sein? Da 366 Tage in einem Schaltjahr 52 Wochen und 2 weitere Tage bedeuten, beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Sonntags von den zusätzlichen zwei Tagen 2/7.

PS: Dies war eine Frage, die ich in einem grundlegenden Statistikbuch gefunden habe.

probability self-study

— Manali Chatterjee
quelle

1. Sie sagen in Ihrem ersten Absatz "Nicht-Schaltjahr", aber in Ihrem zweiten Absatz werden Schaltjahre (die 366 Tage haben - im Widerspruch zum ersten Absatz) klar erörtert. Bitte klären Sie Ihre Frage. (Sie sollten auch klarstellen, wie diese Frage entsteht; hängt sie zum Beispiel mit der Kursarbeit zusammen? Wenn nicht, wie entsteht sie?)

— Glen_b -Rate State Monica

2. Das Auftreten von Sonntagen ist kein zufälliger Vorgang. Jedes Jahr hat eine genau unveränderliche Anzahl von Sonntagen, die bekannt ist, bevor Sie das Jahr beobachten. Damit die Frage als Wahrscheinlichkeitsfrage einen Sinn ergibt, müssen Sie eine zufällige Auswahl von Jahren festlegen (die Sie nicht erwähnen), aber um irgendwohin zu gelangen, müssen wir verstehen, wie und aus welchen Jahren ausgewählt wird welche fiktive Bevölkerung (der gegenwärtige Kalender hat nur einige hundert Jahre

— gedauert

Hallo, glen_b, danke, dass du meinen Fehler beim Tippen identifiziert hast. Ja, die Frage gilt nur für Schaltjahre. Ich habe die Frage auch bearbeitet

— Manali Chatterjee

Vielen Dank, dass Sie auf meinen Punkt 1 geantwortet haben. Ich habe das self-studyTag hinzugefügt - siehe die Kommentare in der Hilfe zu Routineproblemen bei der Bucharbeit ( siehe Hausaufgaben dort, aber es gilt für jedes Lehrbuchproblem wie dieses). In Bezug auf Punkt 2 (in Bezug auf die angenommene Grundgesamtheit und das Stichprobenmodell) ist eine zusätzliche Klarstellung wirklich erforderlich. Wenn Sie jedoch die ursprüngliche Frage direkt zitieren, kann sich die erforderliche Klarstellung zu einer notwendigen Annahme für eine Antwort verschieben.

— Glen_b -Reinstate Monica

Antworten:

Der Gregorianische Kalender bevorzugt fünf der sieben Wochentage in Schaltjahren. Daher ist die Chance nicht genau . $2/7$

Dies war im Wesentlichen das Problem B3 beim Putnam-Mathematikwettbewerb 1950 :

$n$ wird zufällig aus den natürlichen Zahlen ausgewählt. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der 25. Dezember im Jahr ein Mittwoch ist, nicht 1/7 beträgt. $n$

Im Gregorianischen Kalender sind Jahre, die ein Vielfaches von sind, Schaltjahre (mit Tagen), aber Jahre, die ein Vielfaches von sind, sind keine Schaltjahre (und haben daher Tage), mit der Ausnahme, dass Jahre, die ein Vielfaches von sind, Schaltjahre sind. (Viele von uns erinnern sich an die letzte Ausnahme im Jahr ) Dadurch entsteht ein Jahres-Zyklus mit Schaltjahren. $4$ $7\times 52 + 2=366$ $100$ $7\times 52+1=365$ $400$ $2000$ $400$ $400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

Besonders interessant ist, dass die Gesamtzahl der Tage in diesem Zyklus ein Vielfaches von sieben ist:

400 \times (7 \times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400 + 97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \mod 7.

$400 \times (7\times 52 + 1) + 97 \times 1 \equiv 400+97 \equiv 71 \times 7 \equiv 0 \operatorname{mod} 7.$

Dies zeigt, dass der Jahres-Zyklus eine ganze Reihe von Wochen umfasst. Folglich ist das Muster der Wochentage von einem Zyklus zum nächsten genau das gleiche. $400$

Wir können die Frage daher so interpretieren, dass wir nach der Chance von Sonntagen fragen, wenn wir zufällig und gleichmäßig aus einem jährigen Zyklus von Schaltjahren auswählen. Eine Brute-Force-Berechnung (beispielsweise unter Verwendung der Tatsache, dass der 1. Januar 2001 ein Montag war) zeigt, dass der Schaltjahre in jedem Zyklus Sonntage haben. Daher ist die Chance $53$ $400$ $28$ $97$ $53$

Pr (53 Sundays) = \frac{28}{97} .

$\Pr(53\text{ Sundays}) = \frac{28}{97}.$

Beachten Sie, dass dies nicht nicht gleich : es ist etwas größer. Übrigens gibt es die gleiche Chance von Mittwochs, Freitags, Samstags oder Montags und nur eine Chance von Dienstagen oder Donnerstagen. $28/98 = 2/7$ $53$ $27/97$ $53$

Für diejenigen, die detailliertere Berechnungen durchführen möchten (und möglicherweise mathematischen Vereinfachungen misstrauen), gibt es hier einen Brute-Force-Code, der jeden Wochentag für einen bestimmten Satz von Jahren berechnet und untersucht. Am Ende wird die Anzahl der Jahre mit Auftritten an jedem Wochentag angezeigt . Es ist geschrieben in . $53$ R

Hier ist die Ausgabe für den Zyklus : $2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28

Hier ist der Code selbst.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

— whuber
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Meiner Meinung nach zeigt dies genau die Art von Sorgfalt, die erforderlich ist, um die Frage überhaupt zu verstehen. Ohne eine definierte Population und einen zufälligen Prozess der Auswahl von Jahren ist es nicht einmal sinnvoll, über die Wahrscheinlichkeit in Bezug auf die Anzahl der Sonntage pro Jahr zu sprechen. Ich denke, das "2/7" (das der Autor der Frage vermutlich wollte) ist als Antwort nicht ohne weiteres zu verteidigen - sobald Sie versuchen, dies zum Funktionieren zu bringen, werden alle möglichen Probleme offensichtlich und man muss sich in eine künstliche Einschränkung des betrachteten Zeitraums, der nicht in Frage kommt.

— Glen_b -State Monica

Ja, Ihre Argumentation ist richtig. Auf lange Sicht beginnen Schaltjahre fast gleich wahrscheinlich an jedem Wochentag. Die Chance für die 2 zusätzlichen Tage einschließlich eines Sonntags liegt also bei 2/7.

w huber weist darauf hin, dass eine Eigenart des Gregorianischen Kalenders dazu führt, dass der Starttag eines Schaltjahres nicht ganz gleichmäßig verteilt ist, sodass die wahre Wahrscheinlichkeit von 53 Sonntagen etwa 1% oder mehr als 2/7 beträgt. 2/7 ist jedoch mit ziemlicher Sicherheit die Antwort, die die Autoren Ihres Statistiklehrbuchs für Sie vorgesehen haben.

— Gordon Smyth
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Um richtig zu sein, erfordert diese Antwort einige sehr spezifische Annahmen: Welche Jahre haben Sie genau im Sinn? Für die meisten Bereiche ist nicht die richtige Antwort.

2 / 7

$2/7$

— whuber

@w huber Ich habe keinen Zweifel daran, dass 2/7 die Antwort ist, die von den Autoren des Lehrbuchs beabsichtigt wurde, aus dem die Frage stammt. Die Finesse in Ihrer Antwort ist richtig und interessant, aber ich würde argumentieren, hilft dem OP nicht, grundlegende Statistiken zu lernen.

— Gordon Smyth

Ich stimme dem größten Teil davon zu, insbesondere, dass ich nicht dazu beigetragen habe, Statistiken zu lernen - aber dass Kritik am Lehrbuch und nicht an der Lösung seiner Übung geübt werden sollte. Von besonderem Interesse könnte hier sein, den Prozess der Analyse einer Frage - sogar einer Lehrbuchfrage - zu veranschaulichen und zu zeigen, dass die intuitiv "offensichtliche" Antwort manchmal nicht ganz richtig ist. Überraschungen wie diese lehren uns viel. Darüber hinaus ergeben sich manchmal große Konsequenzen aus winzigen Unterschieden. (Ich arbeite gerade an einem Fall, in dem ein Unterschied dieser Größe einen Rechtsanspruch um eine Million Dollar ändert.)

— whuber

Keine Kritik beabsichtigt. Persönlich bin ich sowohl mit der Lehrbuchfrage als auch mit Ihrer hervorragenden und unerwarteten Lösung zufrieden.

— Gordon Smyth