Warum werden auf (0, 255) 8 zufällige Bits gleichmäßig erzeugt?

Ich generiere 8 zufällige Bits (entweder eine 0 oder eine 1) und verkette sie zu einer 8-Bit-Zahl. Eine einfache Python-Simulation ergibt eine gleichmäßige Verteilung auf der diskreten Menge [0, 255].

Ich versuche zu rechtfertigen, warum das in meinem Kopf Sinn macht. Wenn ich das mit dem Umwerfen von 8 Münzen vergleiche, würde der erwartete Wert nicht bei 4 Kopf / 4 Zahl liegen? Für mich ist es also sinnvoll, dass meine Ergebnisse eine Spitze in der Mitte des Bereichs widerspiegeln. Mit anderen Worten, warum scheint eine Folge von 8 Nullen oder 8 Einsen genauso wahrscheinlich zu sein wie eine Folge von 4 und 4 oder 5 und 3 usw.? Was vermisse ich hier?

TL; DR: Der scharfe Kontrast zwischen den Bits und Münzen besteht darin, dass Sie bei den Münzen die Reihenfolge der Ergebnisse ignorieren . HHHHTTTT wird wie TTTTHHHH behandelt (beide haben 4 Köpfe und 4 Schwänze). Aber in Bits ist Ihnen die Reihenfolge wichtig (weil Sie den Bitpositionen "Gewichte" geben müssen, um 256 Ergebnisse zu erhalten), daher unterscheidet sich 11110000 von 00001111.

Längere Erklärung: Diese Konzepte lassen sich präziser vereinheitlichen, wenn wir das Problem etwas formeller formulieren. Betrachten Sie ein Experiment als eine Folge von acht Versuchen mit dichotomen Ergebnissen und einer Wahrscheinlichkeit von "Erfolg" 0,5 und "Misserfolg" 0,5, und die Versuche sind unabhängig. Im Allgemeinen nenne ich das Erfolge, n Gesamtversuche und n - k Misserfolge und die Erfolgswahrscheinlichkeit ist p .$k$$n$$n-k$$p$

• Im Münzbeispiel ignoriert das Ergebnis " Köpfe, n - k Schwänze" die Reihenfolge der Versuche (4 Köpfe sind 4 Köpfe, unabhängig von der Reihenfolge des Auftretens), und dies führt zu Ihrer Beobachtung, dass 4 Köpfe wahrscheinlicher sind als 0 oder 8 Köpfe. Vier Köpfe sind üblicher, weil es viele Möglichkeiten gibt, vier Köpfe (THTHTHTHH oder THTHTHHTT usw.) herzustellen, als es eine andere Zahl gibt (8 Köpfe haben nur eine Sequenz). Der Binomialsatz gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, diese verschiedenen Konfigurationen vorzunehmen.$k$$n-k$

• Im Gegensatz dazu ist die Reihenfolge für Bits wichtig, da jeder Stelle ein "Gewicht" oder ein "Stellenwert" zugeordnet ist. Eine Eigenschaft des Binomialkoeffizienten ist, dass , das heißt, wenn wir alle verschiedenen geordneten Folgen hochzählen, erhalten wir28=256. Dies verbindet direkt die Idee, wie viele verschiedene Arten es gibt,kKöpfe innBinomialversuchen zu erzeugen, mit der Anzahl verschiedener Bytesequenzen.$2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$$2^8=256$$k$$n$

• Darüber hinaus können wir zeigen, dass die 256 Ergebnisse durch die Eigenschaft der Unabhängigkeit gleichermaßen wahrscheinlich sind. Frühere Versuche haben keinen Einfluss auf den nächsten Versuch, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Reihenfolge im Allgemeinen (da die gemeinsame Wahrscheinlichkeit unabhängiger Ereignisse das Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten ist). Da die Versuche fair sind, P ( Erfolg ) = P ( Misserfolg ) = p = 0,5 , reduziert sich dieser Ausdruck auf P ( beliebige Reihenfolge ) = 0,5 = $p^k(1-p)^{n-k}$$P(\text{success})=P(\text{fail})=p=0.5$ . Da alle Ordnungen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, haben wir eine gleichmäßige Verteilung über diese Ergebnisse (die durch binäre Codierung als ganze Zahlen in[0,255] dargestellt werden können).$P(\text{any ordering})=0.5^8=\frac{1}{256}$$[0,255]$

• Schließlich können wir diesen Kreis wieder auf den Münzwurf und die Binomialverteilung zurückführen. Wir wissen, dass das Auftreten von 0 Köpfen nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie 4 Köpfe. Dies liegt daran, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, das Auftreten von 4 Köpfen zu ordnen, und dass die Anzahl solcher Ordnungen durch den Binomialsatz gegeben ist. So muss irgendwie gewichtet werden, und zwar durch den binomischen Koeffizienten gewichtet werden müssen. Dies gibt uns die PMF der Binomialverteilung, P ( k  Erfolge ) = ($P(\text{4 heads})$. Es mag überraschendass dieser Ausdruck eine PMF ist,zwarweil es nicht sofort offensichtlich istdass es auf 1 fasstum zu überprüfen, haben wir zu überprüfendassΣ n k = 0 ($P(k \text{ successes})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, dies ist jedoch nur ein Problem der Binomialkoeffizienten:1=1n=(p+1-p)n=∑ n k = 0 ($\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1$.$1=1^n=(p+1-p)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

Warum ist eine Folge von 8 Nullen oder 8 Einsen genauso wahrscheinlich wie eine Folge von 4 und 4 oder 5 und 3 usw

Das übergeordnete Paradoxon kann in zwei Aussagen zusammengefasst werden, die widersprüchlich erscheinen könnten:

1. Die Folge (acht Nullen) ist ebenso wahrscheinlich wie die Folge s 2 : 01010101 (vier Nullen, vier Einsen). (Im Allgemeinen: Alle 2 8 Sequenzen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, unabhängig davon, wie viele Nullen / Einsen sie haben.)$s_1: 00000000$$s_2: 01010101$$2^8$

2. Das Ereignis " : Die Sequenz hatte vier Nullen " ist wahrscheinlicher (tatsächlich 70- mal wahrscheinlicher) als das Ereignis " e 2 : Die Sequenz hatte acht Nullen ".$e_1$$70$$e_2$

Diese Aussagen sind beide wahr. Weil das Ereignis viele Sequenzen enthält.$e_1$

Alle Sequenzen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/2 8 = 1/256. Es ist falsch anzunehmen, dass die Folgen, die näher an einer gleichen Anzahl von Nullen und Einsen liegen, wahrscheinlicher sind, wenn die Frage interpretiert wird. Es sollte klar sein, dass wir bei 1/256 ankommen, weil wir die Unabhängigkeit von Versuch zu Versuch annehmen . Deshalb multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten und das Ergebnis eines Versuchs hat keinen Einfluss auf den nächsten.$2^8$$2^8$

EXAMPLE with 3 bits (often an example is more illustrative)

I will write the natural numbers 0 through 7 as:

• A number in base 10
• A number in base 2 (i.e. a sequence of bits)
• A series of coin flips implied by the base 2 representation (1 denotes a flip of heads and 0 denotes a flip of tails).

Choosing a natural number from 0 through 7 with equal probability is equivalent to choosing one of the coin flip series on the right with equal probability.

Hence if you choose a number from the uniform distribution over integers 0-7, you have a $\frac{1}{8}$ chance of choosing 3 heads, $\frac{3}{8}$ chance of choosing 2 heads, $\frac{3}{8}$ chance of choosing 1 head, and $\frac{1}{8}$ chance of choosing 0 heads.

Sycorax's answer is correct, but it seems like you're not entirely clear on why. When you flip 8 coins or generate 8 random bits taking order into account, your result will be one of 256 equally likely possibilities. In your case, each of these 256 possible outcomes uniquely map to an integer, so you get a uniform distribution as your result.

If you don't take order into account, such as considering just how many heads or tails you got, there are only 9 possible outcomes (0 Heads/8 Tails - 8 Heads/0 Tails), and they're no longer equally likely. The reason for this is because out of the 256 possible results, there are 1 combination of flips that gives you 8 Heads/0 Tails (HHHHHHHH) and 8 combinations that give 7 Heads/1 Tails (a Tails in each of the 8 positions in the order), but 8C4 = 70 ways to have 4 Heads and 4 Tails. In the coin flipping case each of those 70 combinations maps to 4 Heads/4 Tails, but in the binary number problem each of those 70 outcomes maps to a unique integer.

The problem, restated, is: Why is the number of combinations of 8 random binary digits taken as 0 to 8 selected digits (e.g., the 1's) at a time different from the number of permutations of 8 random binary digits. In the context herein, random choice of 0's and 1's means that each digit is independent of any other, so that digits are uncorrelated and $p(0)=p(1)=\frac{1}{2}$; .

The answer is: There are two different encodings; 1) lossless encoding of permutations and 2) lossy encoding of combinations.

Ad 1) To lossless encode the numbers so that each sequence is unique we can view that number as being a binary integer $\sum_{i=1}^82^{i-1}{X_i}$, where ${X_i}$ are the left to right $i^{th}$ digits in the binary sequence of random 0's and 1's. What that does is make each permutation unique, as each random digit is then positional encoded. And the total number of permutations is then $2^8=256$. Then, coincidentally one can translate those binary digits into the base 10 numbers 0 to 255 without loss of uniqueness, or for that matter one can rewrite that number using any other lossless encoding (e.g. lossless compressed data, Hex, Octal). The question itself, however, is a binary one. Each permutation is then equally probable because there is then only one way each unique encoding sequence can be created, and we have assumed that the appearance of a 1 or a 0 is equally likely anywhere within that string, such that each permutation is equally probable.

Ad 2) When the lossless encoding is abandoned by only considering combinations, we then have a lossy encoding in which outcomes are combined and information is lost. We are then viewing the number series, w.l.o.g. as the number of 1's; $\sum_{i=1}^82^{0}{X_i}$, which in turn reduces to $C(8,\sum_{i=1}^8{X_i})$, the number of combinations of 8 objects taken $\sum_{i=1}^8{X_i}$ at at time, and for that different problem, the probability of exactly 4 1's is 70 ($C(8,4)$) times greater than obtaining 8 1's, because there are 70, equally likely permutations that can produce 4 1's.

Note: At the current time, the above answer is the only one containing an explicit computational comparison of the two encodings, and the only answer that even mentions the concept of encoding. It took a while to get it right, which is why this answer has been downvoted, historically. If there are any outstanding complaints, leave a comment.

Update: Since the last update, I am gratified to see that the concept of encoding has begun to catch on in the other answers. To show this explicitly for the current problem I have attached the number of permutations that are lossy encoded in each combination.

Note that the number of bytes of information lost during each combinatorial encoding is equivalent to the number of permutations for that combination minus one [$C(8,n)-1$, where $n$ is the number of 1's], i.e., for this problem, from $0$ to $69$ per combination, or $256-9=247$ overall.

I'd like to expand a little bit on the idea of order dependence vs. independence.

In the problem of calculating the expected number of heads from flipping 8 coins, we're summing the values from 8 identical distributions, each of which is the Bernoulli distribution [; B(1, 0.5) ;] (in other words, a 50% chance of 0, a 50% chance of 1). The distribution of the sum is the binomial distribution [; B(8, 0.5) ;], which has the familiar hump shape with most of the probability centered around 4.

In the problem of calculating the expected value of a byte made of 8 random bits, each bit has a different value that it contributes to the byte, so we're summing the values from 8 different distributions. The first is [; B(1, 0.5) ;], the second is [; 2 B(1, 0.5) ;], the third is [; 4 B(1, 0.5) ;] , so on up to the eighth which is [; 128 B(1, 0.5) ;]. The distribution of this sum is understandably quite different from the first one.

If you wanted to prove that this latter distribution is uniform, I think you could do it inductively — the distribution of the lowest bit is uniform with a range of 1 by assumption, so you would want to show that if the distribution of the lowest [; n ;] bits is uniform with a range of [; 2^n - 1} ;] then the addition of the [; n+1 ;]st bit makes the distribution of the lowest [; n + 1 ;] bits uniform with a range of [; 2^{n+1} - 1 ;], achieving a proof for all positive [; n ;]. But the intuitive way is probably the exact opposite. If you start at the high bit, and choose values one at a time down to the low bit, each bit divides the space of possible outcomes exactly in half, and each half is chosen with equal probability, so by the time you get to the bottom, each individual value must have had the same probability to be chosen.

If you do a binary search comparing each bit, then you need the same number of steps for each 8 bit number, from 0000 0000 to 1111 1111, they both have the length 8 bit. At each step in the binary search both sides have a 50/50 chance of occuring, so in the end, because every number has the same depth and the same probabilities, without any real choice, each number must have the same weight. Thus the distribution must be uniform, even when each individual bit is determined by coin flips.

However, the digitsum of the numbers isn't uniform and would be equal in distribution to tossing 8 coins.

There is only one sequence with eight zeros. There are seventy sequences with four zeros and four ones.

Therefore, while 0 has a probability of 0.39%, and 15 [00001111] also has a probability of 0.39%, and 23 [00010111] has a probability of 0.39%, etc., if you add up all seventy of the 0.39% probabilities you get 27.3%, which is the probability of having four ones. The probability of each individual four-and-four result does not have to be any higher than 0.39% for this to work.

Consider dice

Think about rolling a couple of dice, a common example of non-uniform distribution. For the sake of the math, imagine the dice are numbered from 0 to 5 instead of the traditional 1 to 6. The reason the distribution is not uniform is that you are looking at the sum of the dice rolls, where multiple combinations can yield the same total like {5, 0}, {0, 5}, {4, 1}, etc. all generating 5.

However, if you were to interpret the dice roll as a 2 digit random number in base 6, each possible combination of dice is unique. {5, 0} would be 50 (base 6) which would be 5*($6^1$) + 0*($6^0$) = 30 (base 10). {0, 5} would be 5 (base 6) which would be 5*($6^0$) = 5 (base 10). So you can see, there is a 1 to 1 mapping of possible dice rolls interpreted as numbers in base 6 versus a many to 1 mapping for the sum of the two dice each roll.

As both @Sycorax and @Blacksteel point out, this difference really boils down to the question of order.

Each bit you choose is independent from each other bit. If you consider for the first bit there is a

• 50% probability it will be 1

and

• 50% probability it will be 0.

This also applies to the second bit, third bit and so on so that you end up with so for each possible combination of bits to make your byte you have $(\frac{1}{2})^8$ = $\frac{1}{256}$ chance of that unique 8 bit integer occurring.