Wie heißt die Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte wie ?

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Bitte verzeihen Sie meine Unwissenheit, wie heißt die Verteilung mit einer solchen Wahrscheinlichkeitsdichte? oder allgemeiner oder wobei ist eine Normalisierungskonstante.

p (x) \propto \frac{1}{1 + e^{x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + e^x},\quad x > 0\,,$

p (x) \propto \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) \propto \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

p (x) = η \frac{1}{1 + α e^{β x}}, x > 0,

$p(x) = \eta \frac{1}{1 + \alpha e^{\beta x}},\quad x > 0\,,$

η

$\eta$

probability distributions

— gwding
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Dies ist identisch mit einer in der Physik üblichen Verteilung, der Fermi-Dirac-Verteilung, die eine Situation beschreibt, die als Fermi-Dirac-Statistik bezeichnet wird . In einer bestimmten Einstellung in der Physik, die durchschnittliche Anzahl von Teilchen mit einer Energie ist wo , und sind physikalische Parameter, die für Sie wahrscheinlich nicht so wichtig sind (das chemische Potential, die Boltzmann-Konstante und die Temperatur). Es ist trivial, dies als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Energie eines Teilchens neu zu interpretieren. $\epsilon$

{\bar{n}}_{ϵ} = \frac{1}{e^{(ϵ - μ) / k T} + 1}

$\bar{n}_\epsilon = \frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$

μ

$\mu$

k

$k$

T

$T$

— jwimberley
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Vielen Dank! Da ich auch einen Parameter habe, den ich anpassen kann, sollten Sie ihn "erweiterte / verallgemeinerte / modifizierte FD-Verteilung" nennen? oder haben Sie einen Vorschlag zu dieser Art von Namenskonvention?

α

$\alpha$

— Gwding

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@gwding Ihr Alpha-Parameter entspricht dem Parameter "chemisches Potenzial" in der FD-Verteilung: . Es kann vorkommen, dass Sie mehr Einblick in die Art der Verteilung erhalten, indem Sie etwas verwenden, das näher an der Physikform liegt, wobei im Nenner steht. Zufälligerweise wird in der Physik oft als , daher ist Ihre Namenskonvention für diesen Parameter dieselbe!

α = \exp (- μ / k T)

$\alpha = \exp(-\mu/kT)$

\exp (β (x - x_{0}))

$\exp(\beta(x-x_0))$

1 / k T

$1/kT$

β

$\beta$

— Jwimberley

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Die Normalisierungskonstante für die erste sollte (nicht, dass es für die vorliegende Frage wirklich wichtig ist). $\frac{1}{\ln(2)}$

Mir ist auch kein Name bekannt. Die erste (ohne die Normalisierungskonstante ) ist die Überlebensfunktion für eine abgeschnittene logistische Verteilung, aber ich habe nicht gesehen, dass sie für eine Dichtefunktion verwendet wird (obwohl ich davon ausgehe, dass sie wahrscheinlich mehrmals benannt wurde ... Dies ist häufig bei einfachen Funktionsformen der Fall, die nicht sehr weit verbreitet sind und bei denen Menschen solche Dinge "neu erfinden", ohne auf frühere Ideen zu stoßen, die sich häufig in verschiedenen Anwendungsbereichen befinden *). $\log(2)$

Wenn Sie versuchen würden, es zu benennen, würden Sie aufgrund der logistischen Funktionsform wahrscheinlich das Wort "logistisch" irgendwo drin drücken wollen, aber die Schwierigkeit wäre, einen Namen zu wählen, der es ausreichend von dem unterscheidet logistische Dichte.

* und jwimberlys Antwort bietet einen solchen Anwendungsbereich. Der Name " Fermi-Dirac-Distribution " scheint eine vernünftige Wahl zu sein, wenn Sie in dem Anwendungsbereich, in dem Sie arbeiten, keinen Namen haben.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Eine Dichte, die sich über zur Einheit integriert, wäre $[0,\infty]$

f_{X} (x) = \frac{θ}{\ln 2} \frac{1}{1 + e^{θ x}}, θ > 0

$f_X(x) = \frac {\theta}{\ln 2}\frac{1}{1+e^{\theta x}},\;\;\; \theta >0$

Rohe Momente sind gegeben durch

E (X^{k}) = \frac{(1 - 2^{- k})}{\ln 2} \frac{1}{θ^{k}} \cdot Γ (k + 1) \cdot ζ (k + 1)

$E(X^k) = \frac {(1-2^{-k})}{\ln 2} \frac {1}{\theta^{k}}\cdot \Gamma(k+1) \cdot \zeta(k+1)$

Dabei ist die Gamma-Funktion und die Riemann-Zeta-Funktion. Damit $\Gamma()$ $\zeta()$

E (X) = \frac{π^{2}}{12 \cdot \ln 2} θ^{- 1} \approx 1.1866 \cdot θ^{- 1}

$E(X) = \frac {\pi^2}{12\cdot \ln 2}\theta^{-1} \approx 1.1866 \cdot \theta^{-1}$

E (X^{2}) \approx \frac{7.212}{4 \cdot \ln 2} θ^{- 2} \approx 2.601 \cdot θ^{- 2}

$E(X^2) \approx \frac {7.212}{4\cdot \ln 2}\theta^{-2} \approx 2.601 \cdot \theta^{-2}$

führt zu

Var (X) \approx 1.193 \cdot θ^{- 2}

$\text{Var}(X) \approx 1.193 \cdot \theta^{-2}$

Numerische Berechnungen bestätigen dies.

— Alecos Papadopoulos
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Wie beantwortet dies die Frage?

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Ich neige dazu, eine breitere Sicht auf "was die Frage ist" zu nehmen. Siehe diesen Beitrag, meta.stats.stackexchange.com/q/2158/28746 , in dem ich meine Argumentation vorbringe und auch einige Lebenslaufdaten zur Sicherung anbiete . Das Anbieten des Momentausdrucks für eine Distribution, die nicht untersucht wurde, ist ein nützliches Wissen für alle, die an der Verwendung der Distribution interessiert sind.

— Alecos Papadopoulos

Ich stimme Ihren Schlussfolgerungen in dem von Ihnen erwähnten Meta zu: "Die Momente dieses PDF sind X" ist keine umfassendere Antwort auf die Frage "Wie heißt dieses PDF?". Die Verteilung wurde ebenfalls zuvor untersucht, wie andere Antworten verweisen.

— Jorge Leitao

@ JCLeitão Wie ich bereits geschrieben habe, ist mein Hauptanliegen und Kriterium, ob es relevante und nützliche Informationen sind, in diesem Thread vorhanden zu sein - und das ist es auch. Die Verbindung zur Fermi-Dirac-Verteilung wurde in den anderen Antworten vermerkt, aber ich sah keinen expliziten Ausdruck für die rohen Momente. Es ist ein übliches Phänomen, dass Antworten im Lebenslauf nicht wettbewerbsfähig, sondern komplementär sind und jeweils nützliche Informationen / Kenntnisse liefern.

— Alecos Papadopoulos