Wenn

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Ich habe Folgendes in einem Lehrbuch gesehen und habe Schwierigkeiten, das Konzept zu verstehen. Ich verstehe, dass normalerweise mit E ( ) = 0 und Var ( ) = . $X_n$ $X_n$ $X_n$ $\frac{1}{n}$

Ich verstehe jedoch nicht, warum das Multiplizieren von mit den Standard normal machen würde. $X_n$ $\sqrt n$

— Luke Hsu
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Siehe en.wikipedia.org/wiki/Variance#Basic_properties (insbesondere dort, wo )

Var (a X) = a^{2} V a r (X)

$\text{Var}(aX) = a^2{Var}(X)$

— Glen_b - Monica

Zögern Sie nicht, Ihre bevorzugte Antwort zu bestätigen

— Laurent Duval

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Da die Varianz ein Moment zweiter Ordnung ist , der mit dem Quadrieren zusammenhängt, wird ein Faktor quadriert.

Genauer gesagt, da die Erwartung im Allgemeinen eine lineare Operation ist, wenn Sie ein zentriertes Moment Ordnung haben (Ihr Moment ist ein Moment Ordnung): $d$ $2$

μ_{d} (X) = E [X^{d}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{d} d F (x)

$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$ Multiplizieren von mit einer Konstanten führt dazu, dass diese Konstante außerhalb des Integrals liegt, beeinflusst durch die Potenz (solange das Integral richtig definiert ist):

X

$X$

d

$d$

μ_{d} (a X) = a^{d} μ_{d} (X) .

$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$

Wenn Sie also mit multiplizieren , wird die Varianz (Zweierpotenz) von mit multipliziert . $X$ $\sqrt{n}$ $X$ $(\sqrt{n})^2$

Der Mittelwert ist ein Moment erster Ordnung, also würden Sie ihn mit multiplizieren , und da er für , hat die resultierende Variable immer noch den Mittelwert Null. $\sqrt{n}$ $0$ $X$

— Laurent Duval
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Danke dafür! In anderen Fällen wirkt sich die Multiplikation von \ sqrt {n} jedoch auf den Mittelwert aus?

— Luke Hsu

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nein, weil der Mittelwert anfangs 0 war (also ist 0 mal sqrt (n) immer noch Null)

— Ben Bolker

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$X\sim N(\mu, \sigma^{2})$

\begin{array}{rcl} X - μ & \sim & N (0, σ^{2}) \\ \frac{X - μ}{σ} & \sim & N (0, 1) . \end{array}

$\begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$

N (μ, σ^{2})

$N(\mu,\sigma^{2})$

\begin{array}{rcl} \bar{X.} = \frac{1}{n} \sum_{ich = 1}^{n} {X.}_{ich} & \sim & N. (μ, \frac{σ^{2}}{n}) \\ \bar{X.} - - μ & \sim & N. (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ \frac{\sqrt{n} (\bar{X.} - - μ)}{σ} & \sim & N. (0, 1) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}$

— LVRao
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