Herleitung der Änderung von Variablen einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion?

In dem Buch Mustererkennung und maschinelles Lernen (Formel 1.27) gibt es

Dabei istx=g(y),px(x)das PDF, das inBezug auf die Änderung der Variablenpy(y)entspricht.

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ $x=g(y)$$p_x(x)$$p_y(y)$

In den Büchern heißt es, dass Beobachtungen, die in den Bereich , für kleine Werte von δ x in den Bereich ( y , y + δ y ) transformiert werden .$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y)$

Wie leitet sich das formal ab?

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Update von Dilip Sarwate

Das Ergebnis ist nur gültig, wenn eine streng monoton ansteigende oder abfallende Funktion ist.$g$

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Einige geringfügige Änderungen an der Antwort von LV Rao Also wenn

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$ steigt monoton an f Y (y)= f X ( g - 1 (y))≤ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ bei monoton abnehmendem FY(y)=1-FX(g-1(y))fY(y)=-fX(g-1(y))⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

$X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ Durch Differenzierung der CDFs auf beiden Seiten wrt $y$erhalten wir das pdf von $Y$. Die Funktion g () könnte entweder monoton ansteigen oder monoton abfallen. Wenn die Funktion g () monoton ansteigt, dann ist das pdf von$Y$ ist gegeben durch $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ und andererseits, wenn es monoton abnimmt, dann das pdf von $Y$ ist gegeben durch $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ Die obigen zwei Gleichungen können zu einer einzigen Gleichung kombiniert werden: $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$