Was sind die Eigenschaften einer halben Cauchy-Verteilung?

Ich arbeite derzeit an einem Problem, bei dem ich einen Markov-Ketten-Monte-Carlo- Algorithmus (MCMC) für ein Zustandsraummodell entwickeln muss.

Um das Problem lösen zu können, wurde mir die folgende Wahrscheinlichkeit von : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). ist die Standardabweichung von . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Jetzt weiß ich also, dass es sich um eine Half-Cauchy-Distribution handelt, weil ich sie anhand von Beispielen erkenne und weil mir das gesagt wurde. Aber ich verstehe nicht ganz, warum es sich um eine "Half-Cauchy" -Verteilung handelt und welche Eigenschaften damit einhergehen.

In Bezug auf Eigenschaften bin ich mir nicht sicher, was ich will. Ich bin ziemlich neu in dieser Art von Ökonometrietheorie. Daher ist es für mich wichtiger, die Verteilung und die Verwendung in einem Zustandsraummodellkontext zu verstehen. Das Modell selbst sieht folgendermaßen aus:

\begin{aligned} y_{t} & = x_{t} + e_{t} \\ x_{t + 1} & = x_{t} + {ein}_{t + 1} \\ {ein}_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2}) \\ p (σ^{2}) & \propto 1 / σ^{2} \\ p (τ) & = \frac{2 ich (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Bearbeiten: Ich habe in p ( ) . Vielen Dank für diesen Hinweis. $\pi$ $\tau$

— Christoph
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Bitte geben Sie an, für welche Immobilien Sie sich interessieren: Schließlich gibt es unendlich viele, die man beschreiben könnte.

— Whuber

Halbverteilungen von symmetrischen Verteilungen haben die doppelte Flächenfunktionshöhe für ihren Bereich, wobei der Bereich ein halber Bereich ist, häufig, aber nicht notwendigerweise beginnend bei Null .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl

Ein halber Cauchy ist eine der symmetrischen Hälften der Cauchy-Verteilung (wenn nicht angegeben, ist die rechte Hälfte vorgesehen):

Da die Fläche der rechten Hälfte eines Cauchy ist, muss die Dichte verdoppelt werden. Daher die 2 in Ihrem PDF (obwohl ein fehlt, wie in den Kommentaren angegeben). $\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

Der Half-Cauchy hat viele Eigenschaften; Einige sind nützliche Eigenschaften, die wir in einer früheren Version haben möchten.

Eine häufige Wahl für einen Prior auf einem Skalenparameter ist das inverse Gamma (nicht zuletzt, weil es für einige bekannte Fälle konjugiert ist). Wenn ein schwach informativer Prior gewünscht wird, werden sehr kleine Parameterwerte verwendet.

Der Half-Cauchy ist ziemlich schwerschwänzig und kann in manchen Situationen auch als eher schwach informativ angesehen werden. Gelman ([1]) befürwortet für die Hälfte-t-Prioren (einschließlich der Hälfte-Cauchy) das inverse Gamma, weil sie sich für kleine Parameterwerte besser verhalten, dies jedoch nur als wenig informativ erachten, wenn ein Parameter mit großem Maßstab verwendet wird *. Gelman hat sich in den letzten Jahren mehr auf den Half-Cauchy konzentriert. Die Arbeit von Polson und Scott [2] liefert zusätzliche Gründe für die Wahl des Half-Cauchy.

* Dein Beitrag zeigt einen Standard-Halb-Cauchy. Gelman würde das wahrscheinlich nicht vorziehen. Wenn Sie überhaupt keinen Sinn für die Skala haben, bedeutet dies, dass die Skala wahrscheinlich über 1 liegt wie unter 1 (was auch immer Sie wollen), aber es passt nicht zu einigen Dingen, die Gelman argumentiert zum.

[1] A. Gelman (2006),
"Frühere Verteilungen für Varianzparameter in hierarchischen Modellen"
Bayesian Analysis , Vol. 1, Nr. 3, S. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson und JG Scott (2012),
"On the Half-Cauchy Prior für einen globalen Maßstab Parameter"
Bayesian Analysis , Vol. 7, No. 4, S. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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1 / π

$1/\pi$

@ Glen_b, was ist der Ort im Half-Cauchy in Ihrer Antwort?

— Rnorouzian

@morouzian an welcher standortmessung bist du interessiert? Als Mitglied einer Location-Scale-Familie hat das Standardformular, das diskutiert wird, eine Position von 0 und eine Skala von 1, aber ich bin nicht sicher, ob Sie danach fragen. (Der Median ist 1, wie gegen Ende meiner Antwort vorgeschlagen, falls

— dies hilfreich ist