Verteilung der quadratischen Form von Normalen

Ich versuche die Verteilung von wo , iid ich weiß, dass, wenn jeder der Begriffe separat genommen wird, und Aber ich bin mir nicht sicher über die Verteilung von (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Zailei Chen
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Willkommen auf unserer Webseite! Ist das eine Frage aus einem Kurs oder Lehrbuch? Wenn ja, fügen Sie bitte das [self-study]Tag hinzu und lesen Sie das Wiki . Andernfalls wäre es interessant zu wissen, in welchem Kontext dieses Problem aufgetreten ist. Danke, dass du uns gezeigt hast, was du getan hast und wo du feststeckst

— Silverfish

@Silverfish Nein, das ist nur etwas, was ich herausfinden will. Ich habe das Problem auf diese einfache Frage reduziert. Ich fürchte, mein ursprüngliches Problem ist etwas komplizierter! Also habe ich versucht, nur den Teil zu fragen, bei dem ich wirklich Hilfe brauche. Aber wenn dies wie ein Lehrbuchproblem aussieht, wäre ich sehr interessiert, aus welchem Text zu lernen, in der Hoffnung, dass er die relevanten Informationen liefert :)

— Zailei Chen

Das scheint sinnvoll! Auch danke für die Verwendung des Latex-Schriftsatzes, wir schätzen immer die Mühe

— Silverfish

Hier ist ein Versuch :

Betrachten Sie so, dass und mit $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Ich bin mir nicht sicher, ob es zu einem unergründlichen MGF reduziert werden kann.

— rechtsgesägt
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Eine Diskussion einer etwas allgemeineren Situation findet sich unter stats.stackexchange.com/questions/72479 mit einem Verweis auf ein Papier, das eine Annäherung bietet.

— whuber