Wahrscheinlichkeit, ein Ereignis dreimal zu überleben

Bei einer Wahrscheinlichkeit von 60%, dass etwas passiert (z. B. Tod aufgrund einer medizinischen Diagnose), wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person dies dreimal überleben kann?

Zum Beispiel werden 40% der Menschen es überleben. Wie viele werden es dreimal überleben?

Bin ich mit folgendem richtig?

Total Outcomes: 300 (60 die, 40 survive = 100 * 3 events = 300)
Odds: 40 / 300 = 13.33~%

Also überleben 13% der Menschen eine 60% ige tödliche Diagnose, wenn sie dreimal diagnostiziert werden?

Keine zusätzlichen Variablen, jeder Vorfall ist isoliert und wirkt sich nicht auf den nachfolgenden aus.

probability independence

— Patrick
quelle

Willkommen auf unserer Webseite! Ist das eine Frage aus einem Kurs oder Lehrbuch? Wenn ja, fügen Sie bitte das [self-study]Tag hinzu und lesen Sie das Wiki . Vielen Dank, dass Sie uns Ihren eigenen Versuch gezeigt haben.

— Silverfish

Absolut nicht. Ich bin eigentlich ein leitender Softwareentwickler, so peinlich die Frage ist. Ich weiß nur, dass das Berechnen von Dingen wie LRs für mich ein bisschen nervenaufreibend sein kann, obwohl dies ein sehr einfaches Beispiel ist ... nicht wie diagnostische Tests. Vielen Dank!

— Patrick

Übrigens ... während in der Alltagssprache "Quoten", "Wahrscheinlichkeit" und "Wahrscheinlichkeit" die gleiche Bedeutung haben, handelt es sich tatsächlich um ganz unterschiedliche Fachbegriffe! Worüber Sie in diesem System sprechen, ist wirklich "Wahrscheinlichkeit". "Gewinnchancen" ähneln eher Glücksspielquoten und drücken ein Verhältnis zwischen günstigen und ungünstigen Ergebnissen aus, obwohl ihr Format unterschiedlich ist - wir haben einen Thread zu "Gewinnchancen einfach" . Und "Wahrscheinlichkeit" ist etwas komplizierteres, das sinnvoller ist, wenn man sich mit Zufallsvariablen auskennt

— Silverfish

Wenn Sie "Keine zusätzlichen Variablen, jeder Vorfall ist isoliert und hat keinen Einfluss auf den nachfolgenden" schreiben, lautet das mathematische Wort dafür, dass sie unabhängig sind . Und für unabhängige Ereignisse und beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, . Wenn es drei unabhängige Ereignisse , und , ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei auftreten, durch . Wenn jedes Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit

A

$A$

B

$B$

P (A) \times P (B)

$P(A) \times P(B)$

A

$A$

B

$B$

C

$C$

P (A) \times P (B) \times P (C)

$P(A) \times P(B) \times P(C)$

0.4

$0.4$

{0.4}^{3} = 0.064 = 6.4 %

$0.4^3 = 0.064 = 6.4\%$

— Silverfish

Mach dir keine Sorgen. Ich habe viele hochrangige (und junge) Ingenieure, Chemiker, Physiker, Geschichtsschwerpunkte oder was auch immer gesehen, die weitaus schlechtere Wahrscheinlichkeitsberechnungen durchführen als Sie ... auf denen Leib und Leben reiten.

— Mark L. Stone

Wenn Sie "Keine zusätzlichen Variablen, jeder Vorfall ist isoliert und hat keinen Einfluss auf den nachfolgenden" schreiben, lautet das mathematische Wort dafür, dass sie unabhängig sind . Und für unabhängige Ereignisse und ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse auftreten, . Wenn es drei unabhängige Ereignisse , und , ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei auftreten, durch . Wenn jedes Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von hat, die gewünschte Wahrscheinlichkeit $A$ $B$ $P(A) \times P(B)$ $A$ $B$ $C$ $P(A) \times P(B) \times P(C)$ $0.4$ $0.4^3=0.064=6.4\%$

Stellen Sie sich für eine gewisse Intuition vor, wir beginnen mit hundert Menschen. (Mein Ansatz, Wahrscheinlichkeiten unter Berücksichtigung der möglichen Ergebnisse einer großen Gruppe von Menschen zu visualisieren, ist inspiriert von der Arbeit des Winton-Programms für das öffentliche Verständnis des Risikos an der Universität Cambridge unter der Leitung von David Spiegelhalter. Siehe z . B. diese Animation des Krebsrisikos . )

Dann überleben nur den ersten Vorfall. Dies lässt nur vierzig Menschen. $40\%$

Dann überleben nur dieser Überlebenden auch den zweiten Vorfall. Dies lässt von vierzig, was sechzehn Personen entspricht. Die Wahrscheinlichkeit, dass einer der hundert Menschen sowohl den ersten als auch den zweiten Vorfall überlebt, beträgt eindeutig sechzehn von einhundert, dh . $40\%$ $40\%$ $\frac{16}{100} = 0.16 = 16\%$

Können Sie jetzt sehen, wie sich dies auf den dritten Vorfall erstreckt?

Da der schattierte Bruchteil der Fläche des Quadrats die gewünschte Wahrscheinlichkeit darstellt, kann es hilfreich sein, auf die Idee von einhundert imaginären Personen zu verzichten und nur ein Quadrat zu betrachten, das eine Einheit für eine Einheit misst. Wenn ich das vorherige Diagramm leicht neu einfärbe und die Seiten in Proportionen von und anstatt von vier und sechs Personen schneide , erhalten wir Folgendes: $0.4$ $0.6$

Vielleicht ergibt dies eine geometrische Intuition für die Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten für zwei unabhängige Ereignisse.

Im Wesentlichen lösen wir die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse auf dieselbe Weise, wie wir jede Frage "Finden Sie einen Anteil eines Anteils" lösen: durch Multiplikation. Wenn Sie von finden möchten, würden Sie berechnen . Dies ist, was wir tun, aber mit den Proportionen, die als unabhängige Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden. $40\%$ $40\%$ $0.4 \times 0.4 = 0.16 = 16\%$

— Silberfisch
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Fantastische Antwort, danke. Genau das, wonach ich gesucht habe ... antworte plus mehr, um mich besser zu verstehen.

— Patrick

Zusammenfassend wäre dieses einfache Beispiel dasselbe wie die abnehmende Wahrscheinlichkeit des 50/50-Münzwurfs "in einer Reihe", außer wir haben es mit 40/60 zu tun?

— Patrick

@Patrick Richtig, gleiche Prinzipien, nur unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Wenn Sie 100 Münzen werfen, aber nur diejenigen behalten, die Köpfe zeigen, erwarten Sie, dass Sie nach 1 Wurf auf 50 und nach 2 Würfen auf 25 fallen, sodass die Wahrscheinlichkeit für zwei Köpfe hintereinander 25/100 oder 0,25 beträgt. Alternativ einfach tun

P (h e a d) \times P (h e a d) = {0.5}^{2} = 0.25

$P(head) \times P(head) = 0.5^2 = 0.25$ . Wenn ich mir das unterteilte Quadrat am Ende meiner Antwort vorstelle, wird es genau in Viertel geschnitten, sodass die Wahrscheinlichkeit von Köpfen sowohl beim ersten als auch beim zweiten Wurf ein Viertel beträgt.

— Silverfish

Wie hast du die Charts gemacht?

— EngrStudent

@EngrStudent LibreOffice Calc-Tabelle, nur mit den Hintergrundfarben und -rändern der Zellen herumspielen, dann ein paar Textfelder auf dem letzten. Farbcodierte Tabellenkalkulationen eignen sich gut für solche Dinge. Die Idee, 100 Personen zu betrachten, wurde von der Arbeit des Winton-Programms für das öffentliche Verständnis von Risiken an der Universität Cambridge unter der Leitung von David Spiegelhalter inspiriert . Siehe zB diese Animation des Krebsrisikos . Wird das in Antwort bearbeiten, eigentlich.

— Silverfish