Wahrscheinlichkeit, dass Personen ihrem Partner nicht an einem runden Tisch gegenüberstehen

Wenn Paare zufällig an einem runden Tisch sitzen, wie groß ist dann die Chance, dass niemand ihrem Partner gegenüber sitzt?

Wenn es vier Personen gibt, lautet die Antwort 2/3.

Wenn es sechs sind, ist es 8/15, denke ich.

Danach wird meine Schritt-für-Schritt-Methode, bei der alle Möglichkeiten ausgefüllt werden und eine Summe verschiedener erwarteter Werte erhalten wird, ziemlich mühsam. Interessanterweise erhält ein intuitiver Ansatz die richtige Antwort für 6 Personen in Form von (4/5) x (2/3), aber ich habe Mühe, dies zu verallgemeinern. Gibt es eine nette Methode, die zu einer Formel für den Fall von 2n Personen (n Paaren) führt?

Analyse

Lassen Sie uns raten und dann systematisch verbessern, bis es richtig ist.

Beginnen Sie mit der Vermutung, dass die Antwort . Das ist natürlich falsch. Um zu sehen, wie falsch es ist, beschriften Sie einen Partner in jedem Paar mit "Rot" und den anderen mit "Blau". Aus der Sicht eines roten Individuums besteht eine Chance, dass sein (blauer) Partner ihnen gegenüber sitzt. Da es rote Individuen gibt, subtrahieren wir von dieser anfänglichen Vermutung.1 / ( 2 n - 1 ) n n × 1 / ( 2 n - 1 $1$$1/(2n-1)$$n$$n\times 1/(2n-1)$

Aber warten - die noch nicht ganz richtig ist, denn alle Paare der Paare wurden doppelt gezählt. Wenn ein Paar gegenüber sitzt, bleiben Paare, Plätze und aus der Sicht eines roten Individuums beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie Teil eines zweiten Paares sind, . Daher müssen wir erneut hinzufügen .2 n - 2 1 / ( 2 n - 3 ) ($n-1$$2n-2$$1/(2n-3)$$\binom{n}{2}\times 1/(2n-1)\times 1/(2n-3)$

Aber jetzt haben wir die Beiträge von Dreifachpaaren zum Ergebnis unterzählt , die wir korrigieren müssen. Und so geht es weiter, bis wir endlich alle Paare in der Formel untergebracht haben. (Dies ist natürlich nur das Prinzip von Inklusion-Exklusion in Aktion.) $n$

Die resultierende Formel lautet

Berechnung

Für positive ganze Zahlen ist die konfluente hypergeometrische Kummer-Funktion ein Polynom vom Grad in . Aus der Kummer-Transformation1 F 1 ( - n , - n + $n$ n${_1}F_1\left(-n, -n+\frac{1}{2}, z\right)$$n$$z$

Es ist einfach zu schließen, dass der Grenzwert der Wahrscheinlichkeit, wenn groß wird, . Die Konvergenz ist langsam: Sie müssen mit multiplizieren , um eine zusätzliche Dezimalstelle zu erhalten. Trotzdem können genaue Werte (mit doppelter Genauigkeit) für jedes schnell berechnet werden, indem festgestellt wird, dass die Terme in der linken Summe von langsamer wachsen als Potenzen von . Wenn erreicht , sind die neuen Werte im Vergleich zu im Wesentlichen Null (und tatsächlich legt eine genauere Analyse nahe, dass die Summierung um gestoppt wirde - 1 / 2 ≈ 0,6065306597 ... n 10 n ( 1 ) - 1 / 2 i 52 e - 1 / 2 i = $n$$e^{-1/2} \approx 0.6065306597\ldots$$n$$10$$n$$(1)$$-1/2$$i$$52$$e^{-1/2}$$i=45$ wird funktionieren).

Diese Formel wird in bestimmten Computerumgebungen aufgrund von Ungenauigkeiten in der log-Gamma-Funktion für größer als 10.000.000 aufgeschlüsselt . Das Problem ergibt sich aus der Aufhebung der Unterschiede, die sich bei der Berechnung der Begriffe in der Reihe ergeben. Eine ausgezeichnete Annäherung an diese Unterschiede, wenn ausreichend groß ist, kann in Form von , wobei die Ableitung von (der Digammafunktion ) ist. Dies wird im folgenden Code mit geringem Rechenaufwand implementiert.n ψ ( n - 1 / 4 ) & Psi; log $n$$n$$\psi(n-1/4)$$\psi$$\log \Gamma$

Implementierung

Der folgende RCode berechnet ungefähr 20.000 Werte mit doppelter Genauigkeit pro Sekunde.

f <- function(n) {
  h <- function(n) {
    ifelse(n < 1e6, lfactorial(n) - lfactorial(n-1/2), digamma(n+3/4)/2)
  }
  m <- min(n, 46)
  k <- 0:m
  x <- exp(h(n) - h(n-k) - lfactorial(k) - k*log(2)) * (-1)^k
  sum(x)
}

Lassen Sie uns als Beispiel verfolgen, wie nahe es log(f(n))an seinem Grenzwert von für großes . Wie oben behauptet, addiert jeder Faktor von in eine Dezimalstelle der Grenzgenauigkeit. Schauen wir uns daher die Dezimalstelle im Logarithmus des Verhältnisses von zu für ganze Potenzen von von bis :n 10 n n th f ( n ) e - 1 / 2 10 n = 10 1 n = 10 $-1/2$$n$$10$$n$$n^\text{th}$$f(n)$$e^{-1/2}$$10$$n=10^1$$n=10^{14}$

> round(sapply(1:14, function(n) 10^n * (log(f(10^n)) + 1/2)), 3)

[1] -0.255 -0.251 -0.250 ... -0.250 -0.249 -0.249 -0.400

(Sieben Werte wurden in der Mitte weggelassen, alle gleich -0.250.) Das konstante Muster ist klar. Am Ende beginnt es mit zusammenzubrechen, was auf einen Genauigkeitsverlust hinweist. Eine Verbesserung würde wahrscheinlich eine hochpräzise Arithmetik erfordern.$n=10^{14}$

Warum sollte die intuitive Methode funktionieren?

Stellen Sie sich den Tisch als eine Sammlung von Paaren vor. Das heißt, anstelle des traditionellen Nord-West-Ost-Süd-Kreuzes eines Brückentisches sehen wir es wie einen Tisch mit zwei Reihen:

Nord Süd

West Ost

Wenn wir davon ausgehen, dass North der Senior-Partner eines Paares ist, besteht eine 1/3-Chance, dass South der Junior-Partner dieses Paares ist, was West und Ost zu einem Paar zwingt, und eine 2/3-Chance für South wird ein Mitglied des anderen Paares sein, und dann ist der letzte Satz definitiv auch kein Paar.

Wenn wir von auf , fügen wir der Tabelle einfach eine Zeile hinzu:n = $n=2$$n=3$

Nordwest-Südost

Nord Süd

West Ost

Wenn wir Northwest als immer den Senior-Partner des ersten Paares festlegen, besteht eindeutig eine Chance, dass es ein Paar gibt und wir aufhören können, und eine Chance, dass Es gibt kein kleineres Problem , und wir können fortfahren .$\frac{1}{5}$$\frac{4}{5}$

Beachten Sie jedoch, dass das kleinere Problem ein anderes ist, das „zufällig“ dasselbe ist. Anstatt vier Personen und zwei Paare zu haben, die sich mit dem Problem befassen, müssen wir ein Paar und zwei Singles haben, und die Wahrscheinlichkeit, dass das Paar gepaart wird, ist (aus den gleichen Gründen wie zuvor).$\frac{1}{3}$

Dies gibt uns einen rekursiven Ansatz; Wir können über ein Problem mit zwei Parametern sprechen , wobei sich auf die Anzahl der Personen und auf die Anzahl der Paare bezieht. So gibt uns (das heißt, vier Paare mit 8 Personen gibt uns ein Chance des Scheiterns bei der Zuordnung des ersten Paar, und dann die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns für 2 Paare und 6 Personen in dem Fall, in dem wir überleben), und dann für wir vier Fälle erweitern:n c ( 8 , 4 ) $(n,c)$$n$$c$$(8,4)$$\frac{6}{7}(6,2)$ (6,2$\frac{1}{7}$$(6,2)$

1. Die beiden nächsten Paare sind Single:$\frac{2*1}{6*5}(4,2)$

2. Einer war Single, der andere war in einem Paar:$\frac{4*2*2}{6*5}(4,1)$

3. Beide waren in verschiedenen Paaren: (Beachten Sie, dass aus offensichtlichen Gründen.)(4,0)=$\frac{4*2}{6*5}(4,0)$$(4,0)=1$

4. Beide waren im selben Paar: (Dies ist eine Verlustbedingung)$\frac{4*1}{6*5}$

Wenn Sie alle Berechnungen durchführen, erhalten Sie am Ende für den 8-Personen-Fall, der nicht . (Es ist höher wegen der Chance, dass wir die Paare frühzeitig völlig trennen.)$\frac{20}{35}$ $\frac{6}{7}\frac{8}{15}$

Mir ist kein sofortiger Trick bekannt, mit dem Sie einfach eine kombinatorische Formel verwenden können, um eine Antwort in geschlossener Form zu erhalten, aber es scheint wahrscheinlich, dass es eine geben könnte. [Bearbeiten: Siehe Whubers Antwort für die Lösung.]