Gesetz der totalen Erwartung / Turmregel: Warum müssen beide Zufallsvariablen aus demselben Wahrscheinlichkeitsraum stammen?

Ich zitiere (Hervorhebung meiner) aus der Wikipedia-Definition :

Der Satz in der Wahrscheinlichkeitstheorie, bekannt als das Gesetz der Gesamterwartung, ... besagt, dass wenn X eine integrierbare Zufallsvariable ist (dh eine Zufallsvariable, die E (| X |) <∞ erfüllt) und Y eine beliebige Zufallsvariable ist, nicht notwendigerweise integrierbar, auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum , dann

$$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$$

Ich verstehe nicht, was sie mit demselben Wahrscheinlichkeitsraum meinen, und weiß nicht, warum dies ein wichtiger Teil der Definition ist. Nehmen Sie das Beispiel weiter unten auf der Seite:

Angenommen, zwei Fabriken beliefern den Markt mit Glühbirnen. Die Lampen von Factory X arbeiten durchschnittlich 5000 Stunden, während die Lampen von Factory Y durchschnittlich 4000 Stunden arbeiten. Es ist bekannt, dass Fabrik X 60% der insgesamt verfügbaren Glühbirnen liefert. Wie lange funktioniert eine gekaufte Glühbirne voraussichtlich?

Die Zufallsvariablen hier scheinen zu sein:

1. Die Lebensdauer einer Glühbirne.
2. Aus welcher Fabrik kommt eine Glühbirne?

Wie können diese beiden den gleichen Wahrscheinlichkeitsraum haben?

Ich verstehe nicht, was sie mit dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum meinen

Das ist das Problem.

Die Standardmethode für die Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie (Zufallsvariablen, Verteilungen usw.) sind Kolmogorovs Axiome . Diese Axiome sind in der Sprache der Maßtheorie gefasst , aber es ist durchaus möglich, einfache Fälle ohne Maßtheorie zu verstehen.

Grundsätzlich besteht ein Wahrscheinlichkeitsmodell aus drei Dingen: einer Menge , deren einzelne Elemente Sie sich als Zusammenfassung des "wahren Zustands der Welt" vorstellen können (oder zumindest alles, was Sie darüber wissen müssen); eine Sammlung von Teilmengen von (deren Elemente die möglichen Ereignisse sind, deren Wahrscheinlichkeit Sie möglicherweise messen müssen); und ein Wahrscheinlichkeitsmaß , das eine Funktion ist, die ein Ereignis und eine Zahl ausspuckt (deren Interpretation die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Ereignis auftritt). Das Tripel ist als Wahrscheinlichkeitsraum bekannt$\Omega$$\mathcal{F}$$\Omega$$P$$E \in \mathcal{F}$$P(E) \in [0, 1]$$E$$(\Omega, \mathcal{F}, P)$ solange es bestimmte natürliche Eigenschaften erfüllt (zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von zählbar vielen disjunkten Ereignissen die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten).

In diesem Framework ist eine Zufallsvariable eine Funktion von bis . In Ihrem Beispiel haben wir zwei Zufallsvariablen: (die Dauer einer Glühbirne) und (aus welcher Fabrik eine Glühbirne stammt).$X$$\Omega$$\mathbb{R}$$T$$F$

Wie können diese beiden den gleichen Wahrscheinlichkeitsraum haben?

Die Frage lautet nun: Wie definieren wir einen Wahrscheinlichkeitsraum und funktionieren so, dass das Problem unter modelliert wird Erwägung. Es gibt viele Möglichkeiten, aber eine einfache besteht darin, . Ein Element gibt eine bestimmte (nicht zufällige) Glühbirne ab Werk , die für die Zeit . Dann würden wir und . Die gemeinsame Verteilung von wird dann durch Angabe von und .$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$T, F : \Omega \to \mathbb{R}$$\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$$(f, t) \in \Omega$$f$$t$$T(f, t) = t$$F(f, t) = f$$(T, F)$$\mathcal{F}$$P$

Ich verstehe nicht ... warum dies ein wichtiger Teil der Definition ist

Die bedingte Erwartung einer Zufallsvariablen bei einer anderen Zufallsvariablen ist selbst als eine Art Zufallsvariable definiert, die bestimmte Eigenschaften befriedigt. Die formale Definition finden Sie hier , sie mag jedoch ziemlich geheimnisvoll erscheinen, wenn Sie mit der messungstheoretischen Wahrscheinlichkeit nicht vertraut sind. Grundsätzlich ist diese Definition nicht sinnvoll, wenn und nicht im gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Letztendlich ist es jedoch normalerweise nicht problematisch, zwei Zufallsvariablen in einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren, so dass diese Bedingung eine technische Tatsache darstellt.$E[X \mid Y]$$X$$Y$$X$$Y$