Maximale Entropieverteilung eines Anteils mit bekanntem Mittelwert und bekannter Varianz? Ist es eine Beta?

Welche Verteilungsannahme minimiert angesichts eines Anteils und seines Standardfehlers die Annahmen / maximiert die Entropie? Ist es die Beta (und kann ich die Methode der Momente verwenden, um ihre Parameter abzuschätzen)? Oder etwas anderes?

— generic_user
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Es ist eine abgeschnittene Normalverteilung . Dies ist eine Folge von Boltzmanns Theorem .

Die folgende Analyse enthält die Details, die zur Implementierung einer praktischen Lösung erforderlich sind.

A Normal $(\mu,\sigma)$ Verteilung $F$ auf das Intervall abgeschnitten $[0,1]$ entsteht durch die Verwendung einer Standard-Normalvariablen $X$ mit Wahrscheinlichkeitsverteilung $\Phi$ , skalieren um $\sigma$ und verschob es auf $\mu$ und kürzen es auf $[0,1]$ . Entsprechend - rückwärts arbeiten - die ursprüngliche Variable $X$ muss auf das Intervall abgeschnitten worden sein $[-\mu/\sigma, (1-\mu)/\sigma]$ wo es eine Gesamtwahrscheinlichkeit von hatte

\begin{matrix} (1) & C. = Φ (\frac{1 - - μ}{σ}) - - Φ (\frac{- - μ}{σ}), \end{matrix}

$C = \Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right),\tag{1}$

Erwartung

μ_{1} = \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- - μ}{σ}}^{\frac{1 - - μ}{σ}} x \exp (\frac{- - x^{2}}{2}) d x,

$\mu_1=\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x,$

und zweiter (roher) Moment

μ_{2} = \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} \int_{\frac{- - μ}{σ}}^{\frac{1 - - μ}{σ}} x^{2} \exp (\frac{- - x^{2}}{2}) d x .

$\mu_2 = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_\frac{-\mu}{\sigma}^\frac{1-\mu}{\sigma} x^2\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x.$

Vermutlich ist Ihr "Standardfehler" entweder $\sqrt{\mu_2-\mu_1^2}$ oder ein konstantes Vielfaches davon.

Diese Integrale können in Bezug auf berechnet werden

\begin{matrix} (2) & μ_{1} (z) = \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} \int_{- - \infty}^{z} x \exp (\frac{- - x^{2}}{2}) d x = - - \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} \exp (- - \frac{z^{2}}{2}) \end{matrix}

$\mu_1(z) = \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\tag{2}$

und durch Teile zu integrieren,

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} μ_{2} (z) & = \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} \int_{- - \infty}^{z} (x) (x \exp (\frac{- - x^{2}}{2})) d x \\ = \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} (x (- - \exp (- - \frac{x^{2}}{2})) ∣_{- - \infty}^{z} - - \int_{- - \infty}^{z} - - \exp (- - \frac{x^{2}}{2}) d x) \\ = - - \frac{1}{C. \sqrt{2 π}} z \exp (- - \frac{z^{2}}{2}) + \frac{1}{C.} Φ (z) . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{ \mu_2(z) &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z (x)\left(x\exp\left(\frac{-x^2}{2}\right)\right)\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{C\sqrt{2\pi}}\left(x\left(-\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\right)\mid_{-\infty}^z - \int_{-\infty}^z -\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x \right)\\ &=-\frac{1}{C\sqrt{2\pi}}z\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) + \frac{1}{C}\Phi(z)\tag{3}. }$

Somit

μ_{1} = μ_{1} (\frac{1 - - μ}{σ}) - - μ_{1} (\frac{- - μ}{σ})

$\mu_1 = \mu_1\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_1\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right)$

und

μ_{2} = μ_{2} (\frac{1 - - μ}{σ}) - - μ_{2} (\frac{- - μ}{σ}) .

$\mu_2 = \mu_2\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right) - \mu_2\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right).$

Diese Berechnungen $(1)$ , $(2)$ , und $(3)$ kann in jeder Software implementiert werden, in der Exponentiale, Quadratwurzeln und $\Phi$ stehen zur Verfügung. Dies ermöglicht die Anwendung in jedem Anpassungsverfahren, wie z. B. der Methode der Momente oder der maximalen Wahrscheinlichkeit. Beides würde numerische Lösungen erfordern.

— whuber
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