Korrelation zwischen Sinus und Cosinus

Angenommen, ist gleichmäßig auf . Lassen und . Zeigen Sie, dass die Korrelation zwischen und Null ist. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Es scheint, ich müsste die Standardabweichung von Sinus und Cosinus und ihre Kovarianz kennen. Wie kann ich diese berechnen?

Ich denke, ich muss annehmen, dass eine gleichmäßige Verteilung hat und der Blick auf die transformierten Variablen und . Dann würde das Gesetz des unbewussten Statistikers den erwarteten Wert geben $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ und

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(Die Dichte ist konstant, da sie gleichmäßig verteilt ist und somit aus dem Integral herausbewegt werden kann.)

Diese Integrale sind jedoch nicht definiert (haben aber Cauchy-Hauptwerte von Null, denke ich).

Wie könnte ich dieses Problem lösen? Ich glaube, ich kenne die Lösung (Korrelation ist Null, weil Sinus und Cosinus entgegengesetzte Phasen haben), aber ich kann nicht finden, wie ich sie ableiten kann.

— Uklady
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Wie bereits erwähnt, ist Ihr Problem nicht ausreichend definiert. Korrelation ist ein Konzept, das für Zufallsvariablen gilt, nicht für Funktionen. (Formal ist eine Zufallsvariable eine Art Funktion, nämlich eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum bis zu den mit dem Borel-Maß ausgestatteten reellen Zahlen. Wenn Sie jedoch nur "die Sinusfunktion" sagen, können Sie nichts über das Wahrscheinlichkeitsmaß in der Domain, die Ihnen probabilistische Informationen

— liefert

Wenn ich annehme, dass Zeit eine einheitliche Zufallsvariable ist ( in meinem Text), ist dies nicht möglich? Ich meine, ich würde dann die Korrelation zweier transformierter Zufallsvariablen untersuchen.

X

$X$

— Uklady

Sie wollen also gleichmäßig verteilt und definieren dann und ? Das ist in Ordnung, außer dass Sie auch die Unterstützung der -Dichte angeben müssen , da es keine gleichmäßige Verteilung über das gesamte oder ein anderes unendlich langes Intervall gibt.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologe

Vielleicht könnte ich als Unterstützung nehmen (ich würde annehmen, dass , also enthält das Intervall einen vollen Zyklus). Ich denke, die Integrationsprobleme werden dann auch verschwinden

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Wenn Sie dies tun, müssen Sie nur ein Streudiagramm zeichnen - es ist keine Integration erforderlich. Dieses Streudiagramm ist (offensichtlich) eine gleichmäßige Verteilung auf dem Einheitskreis. Da der Kreis unter jeder Reflexion durch den Ursprung symmetrisch ist, entspricht die Korrelation seinem negativen Wert, daher muss er Null sein, QED .

— whuber

Schon seit

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

Die Korrelation muss ebenfalls 0 sein.

— Kodiologe
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Ich wirklich wie @ whuber Argument von der Symmetrie und will es nicht als Kommentar verloren, also hier ist ein bisschen Ausarbeitung.

Betrachten Sie den Zufallsvektor , wobei und , für . Da dann den Einheitskreis durch die Bogenlänge parametrisiert, wird gleichmäßig auf dem Einheitskreis verteilt. Insbesondere ist die Verteilung von dieselbe wie die Verteilung von . Aber dann $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

es muss also sein, dass . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Nur ein schönes geometrisches Argument.

— Matthew Drury
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