Erwartung einer Funktion einer Zufallsvariablen von CDF

Ist es möglich, die Erwartung einer Funktion einer Zufallsvariablen nur mit der CDF des RV zu berechnen? Angenommen, ich habe eine Funktion mit der Eigenschaft und die einzige Information, die ich über die Zufallsvariable habe, ist die CDF. $g(x)$ $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$

Zum Beispiel habe ich ein Szenario, in dem es drei Timer gibt, die als exponentielle Zufallsvariablen $X_1,X_2,X_3$ mit den $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ werden können. Für jeden Moment verdiene ich eine Belohnung gemäß einer Belohnungsfunktion $g(x)$ . Das heißt, meine Belohnung für das Warten bis zur Zeit $t$ kann als $\int_0^tg(x)dx$ . Jedoch $g(x)$ Erfahrungen abnehmenden Ertrag , so dass die die Grenz Belohnung von Warte eine Sekunde bei empfangen $t=0$ ist , größer als eine Sekunde bei etwa $t=27$ . Dieses "Spiel" endet, wenn eines von zwei Dingen passiert. Entweder beide Timer $X_1$ oder $X_2$ muss klingeln oder Timer $X_1$ oder $X_3$ müssen klingeln. Ich versuche die erwartete Belohnung für dieses Spiel zu finden.

Derzeit kann ich die CDF der Zufallsvariablen berechnen, die die Zeit bis zum Ende des Spiels modelliert, aber ich weiß nicht, wie ich diese Informationen verwenden soll, wenn ich wirklich eine Belohnung für diese Zeit benötige.

Bisher habe ich die zusätzlichen Zufallsvariablen:

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$ sei auch

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$ die CDF von

X_{i}

$X_i$ Die CDF von

Z

$Z$ kann geschrieben werden als:

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

Ich weiß, wenn eine Zufallsvariable nicht negative Werte annimmt, können Sie eine Verknüpfung verwenden, um die Erwartung mithilfe der CDF zu berechnen. Das heißt, . Gibt es etwas Ähnliches, das ich für eine Funktion einer Zufallsvariablen verwenden könnte, oder ist es notwendig, zuerst das PDF von zu berechnen, um zu berechnen $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value

— CoconutBandit
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Was meinst du mit "nur" Informationen? Die CDF erzählt Ihnen alles über das Wohnmobil, was mit den Erwartungen zusammenhängen könnte! Es scheint, dass Ihr zugrunde liegendes Problem möglicherweise mit der Rechenform zu tun hat, in der Ihnen die CDF übergeben wird. Bitte erläutern Sie Ihre Umstände. Übrigens kann undefiniert oder unendlich sein, selbst wenn das Integral vonist endlich.

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

— whuber

Ich denke, Sie suchen nach Integration durch Teile en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

— seanv507

Wenn die CDF einer Zufallsvariablen und eine (messbare) Funktion ist, kann die Erwartung von als Riemann-Stieltjes-Integral gefunden werden $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

Dies drückt das Gesetz des unbewussten Statistikers aus.

Wenn auch differenzierbar ist, schreibe und integriere nach Teilen , um zu ergeben $g$ $dF = -d(1-F)$

E (g (X)) = - g (x) (1 - F (x)) |_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

vorausgesetzt, beide Addenden konvergieren. Dies bedeutet mehrere Dinge, die einfach ausgedrückt werden können, indem das Integral bei einem bestimmten endlichen Wert wie gebrochen wird : $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ und existieren und sind endlich. Wenn ja, ist der erste Zusatz der Unterschied zwischen diesen beiden. ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ und existiert und ist endlich. Wenn ja, ist der zweite Zusatz die Summe dieser beiden. $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

Ein guter Ort, um das Integral zu brechen, ist eine beliebige Null von , da - vorausgesetzt, nimmt schließlich schnell genug für großes- das bewirkt, dass der erste Addend verschwindet und nur das Integral von gegen die Überlebensfunktion übrig bleibt . $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

Beispiel

Die Erwartung einer nicht negativen Variablen wird erhalten, indem die Formel auf die Identitätsfunktion für die und die Tatsache ausgenutzt wird, dass die Integration bei Null beginnen kann: $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

E (X) = - x (1 - F (x)) |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x .

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

Vorausgesetzt, (dh die Überlebensfunktion hat keinen übermäßig schweren Schwanz), verschwindet die Obergrenze des ersten Terms. Seine Untergrenze verschwindet offensichtlich. Wir bleiben nur beim Integral und geben den Ausdruck in der Frage. $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

— whuber
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Danke, das sieht genau so aus, wie ich es wollte. Ich muss mich jetzt nur noch über meine Riemann-Stieltjes-Integration informieren.

— CoconutBandit

Da in Ihrer Anwendung überall außer bei kontinuierlich differenzierbar ist , können Sie das Integral bei in zwei Riemann-Integrale aufteilen und die Komplikationen insgesamt ignorieren.

F

$F$

0

$0$

0

$0$

— whuber

Was meinst du mit "Komplikationen"? Auch in Ihrem zweiten Punkt sollte wäre ? Wenn nicht, warum hat sich zu geändert ?

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

— CoconutBandit

(1) Danke, diese Primzahlen mussten da sein. (2) "Komplikationen" bezieht sich auf die Notwendigkeit des Riemann-Stieltjes-Integrals anstelle des Riemann-Integrals.

— whuber

Hierbei werden drei grundlegende Differenzierungsregeln verwendet: die Summenregel, die Produktregel und die Tatsache, dass Konstanten keine Ableitungen haben.

— whuber