Welche Beziehung besteht zwischen der Funktion

Betrachten Sie die Funktion

$r (x) = E (Y ∣ X = x)$ $r(x) = \mathbb{E}(Y \mid X = x)$

Dies wurde in einem von mir verwendeten Lehrbuch als Regressionsfunktion bezeichnet . Ich versuche, die Beziehung zwischen dieser Funktion und dem klassischen linearen Regressionsmodell herauszufinden.

Ich weiß also, dass es ein Satz * ist, den wir schreiben dürfen

Y = r (X) + ϵ

$Y = r(X) + \epsilon$

für einige Zufallsvariablen st . $\epsilon$ $\mathbb{E}(\epsilon) = 0$

Nehmen wir nun an, wir haben

$Y = β_{0} + β_{1} X + ϵ$ $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$

Dies ist die klassische eindimensionale Regressionsfunktion (unter der Annahme, dass und die verbleibende Quadratsumme minimieren). $\beta_0$ $\beta_1$

Frage: Ist es dann ein mathematischer Satz, dass, wenn wie oben definiert ist, das $Y$

r (X) = E (Y ∣ X) = (β_{0} + β_{1} X) ?

$r(X) = \mathbb{E}(Y \mid X) = (\beta_0 + \beta_1 X)?$

Und ist dies , warum die Funktion die „Regressionsfunktion“ genannt wird? $\mathbb{E}(Y \mid X)$

EDIT: Der Satz, den ich verwende, lautet wie folgt (aus All of Statistics, S. 89):

Regressionsmodelle werden manchmal als geschrieben

$Y = r (X) + ϵ$ $Y = r(X) + \epsilon$
wobei . Auf diese Weise können wir ein Regressionsmodell jederzeit neu schreiben. Um dies zu sehen, definieren Sie und damit . Darüber hinaus ist $\mathbb{E}(\epsilon) = 0$ $\epsilon = Y - r(X)$ $Y = Y + r(X) - r(X) = r(X) + \epsilon$ . $\mathbb{E}(\epsilon) = \mathbb{E}\mathbb{E}(\epsilon \mid X) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(Y - r(X)) \mid X) = \mathbb{E}(\mathbb{E} ( Y \mid X) - r(X)) = \mathbb{E}(r(X) - r(X)) = 0$

regression linear-model

— George
quelle

r

$r$

r

$r$

Oder habe ich verpasst, was Sie gefragt haben?

— Conjugateprior

Überprüfen Sie die entsprechende Antwort: stats.stackexchange.com/questions/173660/…

— Tim

Zusammenfassung der Frage:

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$ $r(X) = \mathbb{E}(Y \mid X) = (\beta_0 + \beta_1 X)$

Ja, nach grundlegenden Eigenschaften der Erwartung:

\begin{aligned} E (Y ∣ X) & = E (β_{0} + β_{1} X + ε) \\ = E (β_{0}) + E (β_{1} X) + E (ε) & (linearity of expectation) \\ = β_{0} + β_{1} X + 0 & (Noting that X is constant here \\ because we conditioned on it.) \\ = β_{0} + β_{1} X \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{E}(Y\mid X) & = \operatorname{E}(\beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon) \\[6pt] & = \operatorname{E}(\beta_0) + \operatorname{E}(\beta_1 X) + \operatorname{E}(\varepsilon) & & \text{(linearity of expectation)} \\[6pt] & = \beta_0 + \beta_1 X + 0 & & \text{(Noting that $X$ is constant here} \\[-2pt] & & & \quad \text{because we conditioned on it.)} \\[6pt] & = \beta_0 + \beta_1 X \end{align}$

$1$ $8\%$

$-1$ $1$

— Glen_b -Reinstate Monica
quelle

Ich habe Ihre grobe Verwendung von \ qquad durch die ordnungsgemäße Verwendung von "align" in MathJax sowie einige andere MathJax-Details ersetzt und warte auf die Begutachtung der Bearbeitung durch Fachkollegen.

$\qquad$

— Michael Hardy

@Michael Ich bin mir der Ausrichtung bewusst und habe sie schon oft verwendet - aber was ist in diesem Fall der eigentliche Vorteil bei der Bearbeitung? Ich wollte, dass es linksbündig und nicht in der Mitte ausgerichtet ist, damit die Kommentare in einer einzelnen Zeile stehen, und ich wollte, dass die Kommentare nicht in dem schweren Text enthalten sind, den MahJax Ihnen hinterlässt, und den hellen Text eines normalen Markups bevorzugen. Das vorliegende Ergebnis entspricht nicht mehr dem Aussehen, das ich eigentlich gesucht habe. Anstatt "roh" zu sein, wurde es bewusst gewählt. Wenn Sie einen Weg haben, der mit weniger Aufwand als dem , was ich wollte, das erreicht, was ich wollte , bin ich ganz Ohr.

— Glen_b -State Monica

ok, ich denke nicht alle Geschmäcker stimmen überein

\dots

$\,\ldots\qquad$

— Michael Hardy

Das geplante Erscheinungsbild ist meiner Meinung nach ideal für Artikel und Bücher, spiegelt jedoch nicht immer das wider, was ich in einem Forum wie diesem für am besten halte, zumindest nicht immer. Ich erkenne, dass mein Geschmack in Bezug auf dieses Problem (und zahlreiche andere Aspekte des Erscheinungsbilds der Website, die ich häufig zu umgehen versuche) möglicherweise von der Norm abweicht, daher lasse ich es unverändert, aber ich verspreche nicht, es weiter zu versuchen Versuchen Sie, sich auszurichten, um das zu tun, was ich will, wenn es einfacher erscheint, es auf andere Weise zu tun.

— Glen_b -State Monica

X

$X$

Y

$Y$

E (Y ∣ X) = (β_{0} + β_{1} X) + ϵ

$\mathbb{E}(Y \mid X) = (\beta_0 + \beta_1 X) + \epsilon$

β_{0}, β_{1}

$\beta_0, \beta_1$