Frage zur gemeinsamen Verteilung von Bernoulli-Zufallsvariablen unter der Bedingung, dass die Summe 1 sein muss

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Ich habe ein Problem bei der Arbeit. Kann mir bitte jemand helfen, mir die gemeinsame Verteilung von Bernoulli-Zufallsvariablen zu geben, aber unter der Bedingung, dass die Summe dieser Zufallsvariablen muss . $n$ $n$ $1$

Kann mir jemand zeigen, wie ich diese Verteilung ableiten kann?

— Cornel
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Dies ist eine kategoriale Verteilung, die auch als multinomiale Verteilung mit einer Anzahl von Versuchen von . $1$

Wenn die Binomialwahrscheinlichkeiten dann ist die Multinomialwahrscheinlichkeit $q_k, \;k=1,\dots n$

p_{k} = \frac{q_{k} \prod_{j \neq k} (1 - q_{j})}{\sum_{r} q_{r} \prod_{s \neq r} (1 - q_{s})}

$p_k=\frac {q_k\prod_{j\neq k} (1-q_j)}{\sum_r q_r\prod_{s\neq r}(1-q_s)}$

Um dies abzuleiten, verwenden Sie einfach die bedingte Wahrscheinlichkeit wobei das Ereignis "Variable ist gleich " und die Ereignissumme "Summe aller Variablen gleich" ist 1 ". Dann können Sie ableiten, dass alle anderen Bernoulli-Variablen Null sein müssen , damit sowohl als auch wahr sind. Diese Wahrscheinlichkeit ist der Zähler für den Wert von ich zuvor angegeben habe. Dann ist Verwendung des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit und des von mir angegebenen Nenners. $p (A_k|B)=p (A_kB)/p (B)$ $A_k$ $k$ $1$ $B$ $n$ $A_k$ $B$ $p_k$ $p (B)=\sum_r p (A_rB)$

— Wahrscheinlichkeitslogik
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Es gibt nur Möglichkeiten, wie die Variablen zu summiert werden können : Eine davon ist gleich und die andere ist gleich Null. Die Formulierung der Frage zeigt an, dass die Variablen austauschbar sind: Daher ändert sich die gemeinsame Verteilung nicht, wenn die Variablen permutiert werden. Da Permutationen der Variablen lediglich jedes dieser Ergebnisse in andere Ergebnisse umwandeln, sind sie alle gleich wahrscheinlich . Folglich ist die Verteilung für diese Ergebnisse einheitlich , mit einer Wahrscheinlichkeit von für jedes Ergebnis. Das beschreibt die gemeinsame Verteilung vollständig. $n$ $1$ $1$ $n-1$ $n$ $1/n$

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Die ursprüngliche Frage ging weder von Austauschbarkeit noch von Unabhängigkeit aus. Aber ohne eine solche Annahme zu treffen, können wir nur die Schlussfolgerung ziehen, dass die gemeinsame Verteilung eine Verteilung auf die möglichen Ergebnisse ist, die ich beschrieben habe. Die Wahrscheinlichkeiten können beliebige nicht negative Werte sein, die sich gemäß den Wahrscheinlichkeitsaxiomen zu Eins summieren. $n$ $n$

— whuber
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Das OP scheint mir in Bezug auf die Austauschbarkeit agnostisch zu sein - es sagt nicht, dass die Wohnmobile die gleiche Bernoulli-Verteilung haben, nur dass es solche gibt

n

$n$ von ihnen.

— Wahrscheinlichkeitslogik

@wahrscheinlichkeit Das ist ein guter Punkt: Das OP hat die Austauschbarkeit nicht explizit angenommen. Andererseits haben sie auch keine Unabhängigkeit angenommen - aber ohne Unabhängigkeit kann nichts von Wert gesagt werden.

— whuber