Da der Standardfehler einer linearen Regression normalerweise für die Antwortvariable angegeben wird, frage ich mich, wie Konfidenzintervalle in die andere Richtung erhalten werden können - z. B. für einen x-Achsenabschnitt. Ich kann mir vorstellen, was es sein könnte, aber ich bin sicher, dass es einen einfachen Weg geben muss, dies zu tun. Unten sehen Sie ein Beispiel in R, wie dies visualisiert werden kann:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

Wie berechnet man das Konfidenzintervall des x-Achsenabschnitts in einer linearen Regression?

Annahmen

• $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• $\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Passen Sie mit dem gewöhnlichen kleinsten Quadrat

3 Verfahren zur Berechnung des Konfidenzintervalls für den x-Achsenabschnitt

• Taylor-Erweiterung (einfach zu bedienen)
• Marc in der Box-Methode (MIB)
• CAPITANI-POLLASTRI ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Taylor-Erweiterung erster Ordnung

$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

$\sigma_X$$X$

MIB

Siehe Code von Marc im Feld unter Wie berechnet man das Konfidenzintervall des x-Achsenabschnitts in einer linearen Regression? .

CAPITANI-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRI bietet die kumulative Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion für das Verhältnis zweier korrelierter normaler Zufallsvariablen. Es kann verwendet werden, um das Konfidenzintervall des x-Achsenabschnitts in einer linearen Regression zu berechnen. Dieses Verfahren liefert (fast) identische Ergebnisse wie die von MIB.

$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

Das Verfahren ist wie folgt:

• $a$$b$
• $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• $a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• $x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

Vergleich der 3 Verfahren

Die Prozeduren werden mit der folgenden Datenkonfiguration verglichen:

• x <- 1:10
• a <- 20
• b <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (Länge (x), Mittelwert = 0, sd = 1)

Mit den 3 Methoden werden 10000 verschiedene Proben erzeugt und analysiert. Der zum Generieren und Analysieren verwendete Code (R) befindet sich unter: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb

• MIB und CAPITANI-POLLASTRI liefern gleichwertige Ergebnisse.
• Die Taylor-Expansion erster Ordnung unterscheidet sich signifikant von den beiden anderen Methoden.
• MIB und CAPITANI-POLLASTRI leiden unter einer Unterdeckung. Es wurde festgestellt, dass 68% (95%) ci in 63% (92%) der Fälle den wahren Wert enthalten.
• Die Taylor-Expansion erster Ordnung leidet unter einer Überdeckung. Das 68% (95%) ci enthält in 87% (99%) der Fälle den wahren Wert.

Schlussfolgerungen

Die x-Achsenabschnitt-Verteilung ist asymmetrisch. Es rechtfertigt ein asymmetrisches Konfidenzintervall. MIB und CAPITANI-POLLASTRI liefern gleichwertige Ergebnisse. CAPITANI-POLLASTRI haben eine schöne theoretische Begründung und geben Anlass zur MIB. MIB und CAPITANI-POLLASTRI leiden unter einer mäßigen Unterdeckung und können zum Festlegen von Konfidenzintervallen verwendet werden.

Ich würde empfehlen, die Residuen zu booten:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

Was Sie in der Grafik anzeigen, sind die Punkte, an denen die untere / obere Grenze des Konfidenzbandes der Vorhersagen die Achse kreuzt. Ich denke nicht, dass dies die Vertrauensgrenzen des Abschnitts sind, aber vielleicht sind sie eine grobe Annäherung.