Was bedeutet die strikte Exogenitätsbedingung von OLS wirklich?

In Hayashis Ökonometrie heißt es, dass eine der Annahmen des klassischen OLS lautet: Und ich weiß, dass die Implikationen sind, dass für alle , und dass der Fehlerterm nicht mit den Regressoren korreliert.

\begin{matrix} (1) & E (ϵ_{i} | x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0, for i = 1, \dots, n . \end{matrix}

$\mathbb{E}(\epsilon_i\lvert\mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \ldots, \mathbf{x_n}) = 0 \text{, for } i=1, \ldots, n. \tag{1}$

E (ϵ_{i}) = 0

$\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0$

i = 1, \dots, n

$i = 1, \ldots,n$

Aber was bedeutet die Gleichung (1) an sich eigentlich? Ein pädagogisches Beispiel wäre hilfreich.

regression econometrics least-squares

— hans-t
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Im Englischen bedeutet dies, dass unter der Bedingung, dass die Daten beobachtet werden, die Erwartung des Fehlerterms Null ist.

Wie könnte dies verletzt werden?

Beispiel: Ausgelassene Variable korreliert mit $x$

Stellen Sie sich vor, das wahre Modell ist:

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + u_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + u_i$

Stellen Sie sich stattdessen vor, wir führen die Regression aus:

y_{i} = α + β x_{i} + \underset{γ z_{i} + u_{i}}{\underset{⏟}{ϵ_{i}}}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \underbrace{\epsilon_i}_{\gamma z_i + u_i}$

Dann:

\begin{aligned} E [ϵ_{i} ∣ x_{i}] & = E [γ z_{i} + u_{i} ∣ x_{i}] \\ = γ E [z_{i} ∣ x_{i}] assuming u_{i} is white noise \end{aligned}

$\begin{align*} E[\epsilon_i \mid x_i ] &= E[\gamma z_i + u_i \mid x_i] \\ &=\gamma E[ z_i\mid x_i] \quad \text{ assuming $u_i$ is white noise} \end{align*}$

Wenn und , dann wird und die strikte Exogenität verletzt. $E[z_i \mid x_i] \neq 0$ $\gamma \neq 0$ $E[\epsilon_i \mid x_i] \neq 0$

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, ist Lohn, ist ein Indikator für einen Hochschulabschluss und ist ein Maß für die Fähigkeit. Wenn die Löhne sowohl von der Bildung als auch von den Fähigkeiten abhängen (der wahre Datenerzeugungsprozess ist die erste Gleichung) und von Hochschulabsolventen höhere Fähigkeiten erwartet werden ( ), weil das College dazu neigt, und anzuziehen Wenn Schüler mit höheren Fähigkeiten zugelassen werden, würde die strikte Exogenitätsannahme verletzt, wenn man eine einfache Regression der Löhne im Bildungsbereich durchführen würde. Wir haben eine klassische verwirrende Variable . Fähigkeit verursacht Bildung und Fähigkeit beeinflusst die Löhne, daher ist unsere Erwartung des Fehlers in Gleichung (2) bei gegebener Bildung nicht Null. $y$ $x$ $z$ $E[z_i \mid x_i] \neq 0]$

Was würde passieren, wenn wir die Regression durchführen würden? Sie würden sowohl den Bildungseffekt als auch den Fähigkeitseffekt im Bildungskoeffizienten erfassen. In diesem einfachen linearen Beispiel würde der geschätzte Koeffizient die Wirkung von auf plus die Assoziation von und mal die Wirkung von auf . $b$ $x$ $y$ $x$ $z$ $z$ $y$

— Matthew Gunn
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Hallo Matthew, ich denke, im vorletzten Absatz sollten "fähigere Personen eher einen Hochschulabschluss erhalten" durch etwas ersetzt werden, das so aussieht wie "von Hochschulabsolventen wird erwartet, dass sie fähigere Personen sind", wie wir es sind unter Berücksichtigung von und nicht .

E (z_{i} | x_{i})

$E(z_i|x_i)$

E (x_{i} | z_{i})

$E(x_i|z_i)$

— Mitch Baker

@MitchBaker Danke für den Kommentar. In der Tat geht es am unmittelbarsten um . Ich habe versucht, etwas zu klären.

E [z | x]

$E[z|x]$

— Matthew Gunn

Was bedeutet die strikte Exogenitätsbedingung von OLS wirklich?

Beispiel: Ausgelassene Variable korreliert mitxxx

Beispiel: Ausgelassene Variable korreliert mit $x$