Ist die Varianz ein grundlegenderes Konzept als die Standardabweichung?

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Auf dieser Psychometrics-Website habe ich das gelesen

[A] Eine tiefe Pegelvarianz ist ein grundlegenderes Konzept als die Standardabweichung.

Die Site erklärt nicht weiter, warum Varianz fundamentaler sein soll als Standardabweichung, aber es hat mich daran erinnert, dass ich einige ähnliche Dinge auf dieser Site gelesen habe.

Zum Beispiel schreibt @ kjetil-b-halvorsen in diesem Kommentar : "Standardabweichung ist gut für Interpretation und Berichterstattung. Für die Entwicklung der Theorie ist die Varianz besser."

Ich spüre, dass diese Behauptungen zusammenhängen, aber ich verstehe sie nicht wirklich. Ich verstehe, dass die Quadratwurzel der Stichprobenvarianz kein unvoreingenommener Schätzer der Populationsstandardabweichung ist, aber es muss mit Sicherheit mehr als das geben.

Vielleicht ist der Begriff "fundamental" für diese Site zu vage. In diesem Fall können wir vielleicht meine Frage so operationalisieren, dass wir fragen, ob die Varianz aus Sicht der Entwicklung der statistischen Theorie wichtiger ist als die Standardabweichung. Warum Warum nicht?

variance standard-deviation

— user1205901 - Setzen Sie Monica wieder ein
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Sind sie nicht dasselbe? Es ist wie 1 + 1 ist das gleiche wie 2 * 1?

— SmallChess

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Die Varianz ist das zweite Kumulat,

. Der Wikipedia-Artikel über Kumulanten sollte jeden beeindrucken, wie natürlich und wichtig sie sind, nicht nur für das Studium von Zufallsvariablen, sondern auch für die Physik und Kombinatorik. Die Multilinearitätseigenschaft (die für die Durchführung von Berechnungen von grundlegender Bedeutung ist) sowie die Ausdehnung von Kumulanten auf multivariate Verteilungen werden von der Standardabweichung nicht berücksichtigt.

κ_{2}

$\kappa_2$

— whuber

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Die Antworten von Robert und Bey geben einen Teil der Geschichte wieder (dh Momente werden tendenziell als grundlegende Eigenschaften von Verteilungen angesehen, und die Standardabweichung wird herkömmlicherweise eher in Bezug auf den zweiten zentralen Moment als in Bezug auf den umgekehrten Moment definiert), aber in welchem Umfang Dinge sind wirklich grundlegend sind, hängen zum Teil davon ab, was wir unter dem Begriff verstehen.

$E[(X-\mu)^p]^{1/p}$ $p=1,2,3,...$ $\mu$ $p$ ten Potenzen der Originaleinheiten angegeben sind und daher schwerer zu interpretieren sind). Dies würde die Populationsstandardabweichung zu der definierten Menge und Varianz machen, die in Bezug auf sie definiert sind.

Es würde jedoch Größen wie die Momenterzeugungsfunktion (oder ein Äquivalent zu den oben definierten neuen Größen) weniger "natürlich" machen, was die Dinge etwas umständlicher machen würde (aber einige Konventionen sind ein bisschen so). Es gibt einige praktische Eigenschaften des MGF, die in der anderen Richtung nicht so praktisch wären.

Meiner Meinung nach ist es grundlegender (aber damit verbunden), dass es eine Reihe grundlegender Varianzmerkmale gibt, die als Varianzmerkmale geeigneter sind als als Standardabweichungsmerkmale (z. B. die Varianz der Summen der unabhängigen Varianz) Zufallsvariablen ist die Summe der Varianzen).

Diese Additivität ist eine Eigenschaft, die von anderen Dispersionsmaßen nicht geteilt wird und eine Reihe wichtiger Konsequenzen hat.

[Es gibt ähnliche Beziehungen zwischen den anderen Kumulanten, daher ist dies ein Sinn, in dem wir Dinge in Bezug auf Momente allgemeiner definieren möchten.]

All diese Gründe sind wohl entweder Konvention oder Bequemlichkeit, aber in gewissem Maße ist es eine Frage der Sichtweise (z. B. sind Momente von einigen Gesichtspunkten ziemlich wichtige Größen, von anderen sind sie nicht allzu wichtig). Es kann sein, dass das Bit "auf einer tiefen Ebene" nichts anderes bedeuten soll als kjetils "bei der Entwicklung der Theorie".

Ich stimme dem Punkt von kjetil zu, den Sie in Ihrer Frage angesprochen haben. Bis zu einem gewissen Grad ist diese Antwort lediglich eine handgewellte Diskussion darüber.

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Ich würde sagen, dass die beiden gleichberechtigt sind, jeder mit seinen eigenen Annehmlichkeiten.

— JM ist kein Statistiker

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Die Varianz wird durch den ersten und den zweiten Moment einer Verteilung definiert. Im Gegensatz dazu ist die Standardabweichung eher eine "Norm" als ein Moment. Momente sind grundlegende Eigenschaften einer Verteilung, wohingegen Normen nur Mittel sind, um eine Unterscheidung zu treffen.

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Die Varianz ist fundamentaler als die Standardabweichung, da die Standardabweichung als "Quadratwurzel der Varianz" definiert ist, dh ihre Definition hängt vollständig von der Varianz ab.

Die Varianz wird dagegen - völlig unabhängig - als "Erwartung der quadratischen Differenz zwischen einer Stichprobe und dem Mittelwert" definiert.

— Robert de Graaf
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Ich würde dies eher als Bericht über die Art und Weise sehen, wie wir Begriffe (oft) verwenden, zum Beispiel in der Lehre, und nicht als Reflexion über das Wesentliche. Es ist durchaus möglich, Standardabweichungen einzuführen, ohne (noch) die Varianz zu erwähnen, und viele Texte und Kurse tun genau das, so wie Sie über den Satz von Pythagoras sprechen können, ohne spezielle Namen für die quadratischen Größen verwenden zu müssen. Historisch gesehen datiert der Begriff Varianz in seinem statistischen Sinne auf die Standardabweichung, so dass selbst diese Wortform für einige Jahrzehnte unmöglich war.

— Nick Cox

Mir wurde bewusst, dass die Standardabweichung vor der Varianz als Bezeichnung aufgetreten war, als ich versuchte, eine Antwort auf Glen 's jetzt gelöschten Kommentar zu formulieren. Damals spiegelte ich wider, dass sich die Tatsache, dass der ältere Begriff jetzt allgemein im Sinne des neueren Begriffs definiert wurde, verstärkte Die Behauptungen des neueren Begriffs, fundamentaler zu sein als sie zu schwächen, haben sie geschwächt.

— Robert de Graaf

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Alle Arten von Erklärungen können gefunden werden. In meiner Einführung in SD (für Geographen, von denen nicht alle mathematisch stark sind) verwende ich den Begriff Varianz überhaupt nicht. Ich möchte schnell darauf hinweisen, dass SD ein natürliches Maß für normale (Gauß'sche) Verteilungen ist, als der Abstand zwischen dem Mittelwert und jeder Beeinflussung der Dichtefunktion. Ich vermute, das ist mehr zu meiner eigenen Belustigung und zum Vergnügen als die der Schüler.

— Nick Cox

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$n$ $X$ $\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$ $S^2$ $\sigma^2$ $S$ $\sigma$

E [S^{2}] = σ^{2}, E [S] \neq σ,

$\mathrm{E}[S^2] = \sigma^2\,,\ \mathrm{E}[S]\neq \sigma\,,$

— StijnDeVuyst
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n

$n$

n - 1

$n - 1$

V a r []

$\mathrm{Var}[]$

V a r [\sum_{i} X_{i}] = \sum_{i} V a r [X_{i}]

$\mathrm{Var}[\sum_i X_i] = \sum_i \mathrm{Var}[X_i]$

X_{i}

$X_i$ ? Das scheint ziemlich "natürlich" zu sein.

— StijnDeVuyst

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In der Tat ist die Additivität unabhängiger Varianzen eine grundlegende Eigenschaft, aber das ist nicht Ihr Argument.

— Nick Cox

Vielleicht ist es interessant, dass Sie wie mit dem Mittelwert einen

— unverzerrten Varianzschätzer erstellen