Was ist der Unterschied zwischen asymptotischer Unparteilichkeit und Konsistenz?

Bedeutet jeder den anderen? Wenn nicht, impliziert das eine das andere? Warum Warum nicht?

Dieses Problem trat als Antwort auf einen Kommentar zu einer Antwort auf, die ich hier gepostet habe .

Obwohl die Google-Suche in den relevanten Begriffen nichts hervorbrachte, was besonders nützlich schien, bemerkte ich eine Antwort auf den Mathe-Stapelaustausch. Ich dachte jedoch, dass diese Frage auch für diese Seite angemessen ist.

BEARBEITEN Sie nach dem Lesen der Kommentare

In Bezug auf die Antwort von math.stackexchange war ich auf der Suche nach etwas ausführlicherem und habe einige der Probleme behandelt, die im Kommentarthread @whuber verlinkt behandelt wurden . Aus meiner Sicht zeigt die Frage math.stackexchange auch, dass Konsistenz keine asymptotisch unvoreingenommene Haltung impliziert, aber nicht viel darüber erklärt, warum. Das dortige OP geht auch davon aus, dass asymptotische Unparteilichkeit keine Konsistenz impliziert, und daher spricht der einzige Antwortende bisher nicht an, warum dies so ist.

— user1205901 - Monica wiederherstellen
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Relevante Chat-Diskussion ab hier.

— Stephan Kolassa

Konzepte im Zusammenhang mit dieser Frage werden in den Kommentaren unter stats.stackexchange.com/a/31038/919 ausführlich erörtert .

— whuber

Ein Follow-up-Thread zu der von @whuber verlinkten Diskussion finden Sie hier: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— Amöbe sagt Reinstate Monica

In dem verwandten Beitrag bei math.se nimmt der Antwortende an, dass die Definition für asymptotische Unparteilichkeit . $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Intuitiv bin ich anderer Meinung: "Unvoreingenommenheit" ist ein Begriff, den wir zuerst in Bezug auf eine Verteilung lernen (endliche Stichprobe). Es erscheint dann natürlicher, "asymptotische Unparteilichkeit" in Bezug auf eine asymptotische Verteilung zu betrachten. Und genau das tun Lehmann & Casella in "Theory of Point Estimation" (1998, 2. Aufl.) , S. 438 Definition 2.1 (vereinfachte Notation):

$Wenn k_{n} ({\hat{θ}}_{n} - - θ) \to_{d} H.$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
für eine Sequenz und für eine Zufallsvariable ist der Schätzer asymptotisch unverzerrt, wenn der erwartete Wert von Null ist. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Angesichts dieser Definition können wir argumentieren, dass Konsistenz seitdem asymptotische Unparteilichkeit impliziert

{\hat{θ}}_{n} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{n} - - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{n} - - θ \to_{d} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... und die entartete Verteilung, die gleich Null ist, hat einen erwarteten Wert gleich Null (hier ist die Folge eine Folge von Einsen). $k_n$

Ich vermute jedoch, dass dies nicht wirklich nützlich ist, sondern nur ein Nebenprodukt einer Definition von asymptotischer Unparteilichkeit, die entartete Zufallsvariablen zulässt. Im Wesentlichen möchten wir wissen, ob, wenn wir einen Ausdruck hätten, an dem der Schätzer beteiligt ist, der zu einem nicht entarteten rv konvergiert, Konsistenz immer noch asymptotische Unparteilichkeit implizieren würde.

Zu Beginn des Buches (S. 431 Definition 1.2) nennen die Autoren die Eigenschaft als " Unvoreingenommenheit in der Grenze ", und dies ist nicht der Fall fallen mit asymptotischer Unparteilichkeit zusammen. $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Die Unvoreingenommenheit im Grenzwert ist ausreichend (aber nicht erforderlich) für die Konsistenz unter der zusätzlichen Bedingung, dass die Folge der Schätzervarianzen auf Null geht (was bedeutet, dass die Varianz überhaupt existiert).

In diesem Beitrag finden Sie die Feinheiten im Zusammenhang mit der Übereinstimmung mit der Varianz ungleich Null (ein bisschen umwerfend) .

— Alecos Papadopoulos
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Verstehe ich richtig, dass in der Definition eine beliebige Zufallsvariable sein darf ( für eine Sequenz und ein usw.)? Wenn ja, könnte dies vielleicht erwähnt werden

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

— Juho Kokkala

Es ist bedauerlich, dass diese Antwort nur "Unvoreingenommenheit in der Grenze ist ausreichend" und nicht auch "unter der zusätzlichen Bedingung, dass die Folge von Schätzervarianzen auf Null geht" ermutigt. Es ist leicht, hier irregeführt zu werden, da diese zusätzliche Bedingung für diese "Genügsamkeit" entscheidend ist.

— Daegan