Hilf mir, die Funktion des Quantils (inverse CDF) zu verstehen

Ich lese über die Quantilfunktion, aber es ist mir nicht klar. Könnten Sie eine intuitivere Erklärung geben als die folgende?

Da das cdf eine monoton ansteigende Funktion ist, hat es eine Inverse; bezeichnen wir dies mit . Wenn die cdf von , dann ist der Wert von so dass ; dies ist die genannte - Quantil von . Der Wert ist der Median der Verteilung mit der Hälfte der Wahrscheinlichkeitsmasse links und der Hälfte rechts. Die Werte und sind das untere und obere Quartil. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
quelle

Sie sollten lernen, Mathe-Markup zu verwenden, siehe meine Änderungen!

— kjetil b halvorsen

Dies ist ein Modell für eine präzise Erklärung auf einer bestimmten Ebene und enthält bereits ein Beispiel. Es ist unklar, welche Erklärungsebene Sie suchen. Eine Antwort kann zehnmal länger sein, je nachdem, was Sie nicht wissen. ZB wissen Sie, dass ein cdf ist? Wissen Sie, was "monoton steigend" bedeutet? Wissen Sie, was eine Umkehrfunktion ist? Wir sind nur einen Teil des ersten Satzes durch. Ihre Frage entspricht einer Aussage, die Sie (alles) nicht verstehen, und obwohl wir keinen Grund haben, an Ihnen zu zweifeln, handelt es sich keineswegs um eine genaue Frage.

— Nick Cox

All dies mag zunächst kompliziert klingen, aber es geht im Wesentlichen um etwas sehr Einfaches.

Mit der kumulativen Verteilungsfunktion bezeichnen wir die Funktion, die Wahrscheinlichkeiten zurückgibt, dass kleiner oder gleich einem Wert ist. $X$ $x$

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Diese Funktion nimmt als Eingabe $x$ und kehrt Werte von der $[0, 1]$ , Intervall (Wahrscheinlichkeiten) -Let des bezeichnen sie als $p$ . Die Inverse der kumulativen Verteilungsfunktion (oder Quantilfunktion) gibt an, was $x$ dazu bringen würde, dass $F(x)$ einen Wert $p$ zurückgibt.

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Dies wird in dem folgenden Diagramm veranschaulicht, das die normale kumulative Verteilungsfunktion (und ihre Inverse) als Beispiel verwendet.

Beispiel

Als einfaches Beispiel können Sie eine Standard- Gumbel- Distribution verwenden. Seine kumulative Verteilungsfunktion ist

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

und es kann leicht invertiert werden: Die natürliche Logarithmusfunktion ist eine Inverse der Exponentialfunktion , so dass es sofort offensichtlich ist, dass die Quantilfunktion für die Gumbel-Verteilung ist

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Wie Sie sehen können, "invertiert" die Quantilfunktion gemäß ihrem alternativen Namen das Verhalten der kumulativen Verteilungsfunktion.

Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion

Nicht jede Funktion hat eine Inverse. Deshalb heißt es in Ihrem Zitat "monoton zunehmende Funktion". Denken Sie daran, dass es aus der Definition der Funktion für jeden Eingangswert genau einen Ausgang zuweisen muss. Kumulative Verteilungsfunktionen für kontinuierliche Zufallsvariablen erfüllen diese Eigenschaft, da sie monoton ansteigen. Für diskrete Zufallsvariablen sind kumulative Verteilungsfunktionen nicht stetig und nehmen zu, daher verwenden wir verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktionen , die nicht abnehmen müssen. Formal ist die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion definiert als

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

Die Definition, übersetzt in Klartext, besagt, dass wir für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitswert nach etwas suchen , was dazu führt, dass Wert größer oder gleich , aber da es mehrere Werte von , die dies erfüllen Bedingung (zB ist für jedes wahr ), also nehmen wir das kleinste davon. $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Funktioniert ohne Inverse

Im Allgemeinen gibt es keine Inversen für Funktionen, die für verschiedene Eingaben denselben Wert zurückgeben können, z. B. Dichtefunktionen (z. B. ist die normale Standarddichtefunktion symmetrisch, sodass für und usw. dieselben Werte zurückgegeben werden ). Die Normalverteilung ist aus einem weiteren Grund ein interessantes Beispiel: Sie ist eines der Beispiele für kumulative Verteilungsfunktionen ohne geschlossene Inverse . Nicht jede kumulative Verteilungsfunktion muss eine geschlossene Inverse haben! Hoffentlich können in solchen Fällen die Inversen mit numerischen Methoden gefunden werden. $-2$ $2$

Anwendungsfall

Die Quantilfunktion kann zur Zufallsgenerierung verwendet werden, wie in Wie funktioniert die inverse Transformationsmethode? Beschrieben .

— Tim
quelle

Diese Antwort funktioniert bis zum vorletzten Absatz. Bis Sie dort ankommen, haben Sie behauptet, dass jede kontinuierliche CDF eine Inverse hat, aber dann scheinen Sie die Normalverteilung als Gegenbeispiel zu dieser Aussage angeboten zu haben. Das ist möglicherweise sehr verwirrend.

— whuber

@Wenn du recht hast, fügte ein Satz hinzu, um es klarer zu machen.

— Tim

Tim und ich haben noch ein Wort hinzugefügt, um es noch klarer zu machen :)

— Amöbe sagt Reinstate Monica

@ Tim gute Antwort, aber könnten Sie etwas Licht auf die Definition der inversen cdf werfen ? Wie Sie bereits erwähnt haben, fragen wir, was für würde . Ich verstehe den Teil wie folgt. Da die cdf monoton ansteigt, gibt es viele Werte, die alle geu erfüllen, aber die würde die größte Untergrenze ergeben, dh einen eindeutigen Punkt festlegen und auf diese Weise die verallgemeinerte Inverse definieren. Macht das Sinn ?

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$

— Alexander Cska

@AlexanderCska Ja, im Grunde genommen sind mehrere F (x) -Werte größer als u, also nehmen wir die Untergrenze, "den kleinsten Wert, der diese Bedingung erfüllt".

— Tim

Tim hatte eine sehr gründliche Antwort. Gut gemacht!

Ich möchte noch eine Bemerkung hinzufügen. Nicht jede monoton ansteigende Funktion hat eine Umkehrfunktion. Tatsächlich haben nur streng monoton ansteigende / abfallende Funktionen inverse Funktionen.

Für monoton ansteigende cdf, die nicht streng monoton ansteigen, haben wir eine Quantilfunktion, die auch als inverse kumulative Verteilungsfunktion bezeichnet wird. Weitere Details finden Sie hier .

Sowohl inverse Funktionen (für die streng ansteigenden cdf) als auch Quantilfunktionen (für die monoton ansteigenden, aber nicht streng monoton ansteigenden cdfs) können als , was manchmal verwirrend sein kann. $F^{-1}$

— Tingguang Li
quelle