Das Produkt zweier logarithmischer Zufallsvariablen

Sei und zwei normale Zufallsvariablen. Schreiben Sie und , um Ideen zu . $X_1$ $X_2$ $X_1\sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$ $X_2\sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$

Betrachten Sie die entsprechenden logarithmischen Normal-Zufallsvariablen: , . $Z_1 = \exp(X_1)$ $Z_2 = \exp(X_2)$

Frage: Wie ist die Verteilung des Produkts der beiden Zufallsvariablen, dh die Verteilung von ? $Z_1Z_2$

Wenn die normalen Zufallsvariablen unabhängig sind oder eine bivariate Normalverteilung haben, ist die Antwort einfach: Wir haben mit der Summe normal, daher ist das Produkt immer noch lognormal . $X_1, X_2$ $Z_1Z_2 = \exp(X_1+X_2)$ $X_1+X_2$ $Z_1Z_2$

Angenommen, sind im Allgemeinen unabhängig, etwa mit Korrelation . Was können wir über die Verteilung von sagen ? $X_1, X_2$ $not$ $\rho$ $Z_1Z_2$

distributions normal-distribution lognormal

— Zufälliger Typ
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Dies könnte nützlich sein: stats.stackexchange.com/questions/19948/…

— Greenparker

Ich bezweifle es jedoch. Grundsätzlich fragt diese Frage: "Wenn die Ränder normal verteilt sind, können wir etwas über ihre gemeinsame Verteilung sagen?" Und ich glaube nicht, dass wir im Allgemeinen viel sagen können

— Ant

Z_{1} Z_{2} = \exp (X_{1} + X_{2})

$Z_1 Z_2 = \exp(X_1 + X_2)$ Im Allgemeinen ist Ihre eigentliche Frage also, ob

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$ ist normal (was es sein wird, wenn

X_{1}, X_{2}

$X_1, X_2$ sind bivariat normal mit Korrelation

ρ

$\rho$ )

— Henry

Wenn Sie keine bivariate Normalität haben, reicht es nicht aus, nur die Korrelation und die Ränder anzugeben, um die bivariate Verteilung zu bestimmen.

— Glen_b -State Monica

Mit Dilips antworten Sie hier , wenn $X$ und $Y$ sind bi-variabel normal und $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ und $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ und die Korrelation zwischen $X$ und $Y$ ist $\rho$ . Dann

C. Ö v (X., Y.) = ρ σ_{1} σ_{2},

$Cov(X,Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2,$

X. + Y. \sim N. (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} + 2 ρ σ_{1} σ_{2}) .

$X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2).$

Somit $Z_1Z_2$ wird auch eine logarithmische Normalverteilung mit Parametern sein $\mu_1 + \mu_2$ und $\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2$ .

— Greenparker
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Qualifikation hinzufügen? Dies gilt , wenn die Verteilung von (X, Y) bi-variate normal ist, sondern dass die Randverteilung von X normal ist und die Randverteilung von Y ist normal , bedeutet nicht , die gemeinsame Verteilung bi-variate normal ist ... Statistiken .stackexchange.com / Fragen / 30159 /…

— Matthew Gunn

@MatthewGunn Interessant. Ich war mir dessen glücklicherweise nicht bewusst. Meine Antwort geht derzeit nicht vollständig auf die Frage ein. Ich werde ein paar Stunden warten, bevor ich es lösche. Vielen Dank.

— Greenparker

Haben Sie viele Daten aus dieser Distribution? In diesem Fall können Sie es zeichnen oder auf andere Weise testen, ob die bivariate Normalität eine gute Verteilungsnäherung ist. Andernfalls könnten Sie vielleicht eine Kopula schätzen und von dort aus gehen!

— kjetil b halvorsen

Dies ist ziemlich offensichtlich, aber Sie verpassen den Punkt: Was passiert, wenn Sie nicht wissen, ob die beiden Ränder eine bivariate Verteilung haben?

— RandomGuy

Vielen Dank! Diese erstaunliche Antwort hat mir den Tag gerettet!

— Jinhua Wang