Wie ist die Verteilung der Summe der nicht-iid-Gaußschen Variablen?

Wenn verteilt , verteilt und , ich weiß , dass verteilt ist wenn X und Y unabhängig sind. $X$ $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ $Y$ $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ $Z = X + Y$ $Z$ $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$

Aber was würde passieren, wenn X und Y nicht unabhängig wären, dh $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

Würde dies die Verteilung der Summe ? $Z$

normal-distribution mathematical-statistics

— JCWong
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Nur möchte darauf hinweisen , dass es gibt alle Arten von gemeinsamen Verteilungen für

andere als bivariate normal , dass nach wie vor haben

und

geringfügig normal. Und diese Unterscheidung würde einen großen Unterschied bei den Antworten bewirken.

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns Ich bin damit einverstanden, dass, wenn

und

normal, aber nicht unbedingt gemeinsam normal sind,

eine andere als die normale Verteilung haben kann. Aber die Aussage des OP, dass "

verteilt ist

wenn

und

unabhängig sind." ist absolut richtig. Wenn

und

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Z

$Z$

N (μ_{x} + μ_{y}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$ sind geringfügig normal (wie der erste Teil des Satzes besagt) und unabhängig (gemäß der Annahme im zweiten Teil des Satzes), dann sind sie auch gemeinsam normal. In der Frage des OP wird die Gelenknormalität explizit vorausgesetzt und somit ist jede lineare Kombination von

und

normal.

X

$X$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@Dilip, lassen Sie mich klarstellen, dass an der Frage nichts falsch ist und an Ihrer Antwort nichts falsch ist (+1) (oder an der Wahrscheinlichkeit (+1)). Ich habe lediglich darauf hingewiesen, dass wenn

und

abhängig sind, es nicht notwendig ist, dass sie gemeinsam normal sind, und es war nicht klar, dass das OP diese Möglichkeit in Betracht gezogen hatte. Außerdem befürchte ich (obwohl ich nicht viel Zeit damit verbracht habe, nachzudenken), dass die Frage ohne einige andere Annahmen (wie die Normalität der Gelenke) möglicherweise sogar unbeantwortet bleibt.

X

$X$

Y

$Y$

Wie @ G.JayKerns erwähnt, können wir natürlich alle möglichen interessanten Verhaltensweisen erzielen, wenn wir marginal, aber nicht gemeinsam verteilte Normalen berücksichtigen. Hier ist ein einfaches Beispiel: Es sei

sein Standard Normal- und

mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 jeweils unabhängig

. Lassen

. Dann

ist ebenfalls Standard normal, aber

ist genau gleich Null mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 und ist gleich

mit der Wahrscheinlichkeit 1/2.

X

$X$

ε = \pm 1

$\varepsilon = \pm 1$

X

$X$

Y = ε X

$Y = \varepsilon X$

Y

$Y$

Z = X + Y

$Z = X+Y$

2 X

$2X$

— Kardinal

Wir können eine ganze Reihe verschiedener Verhaltensweisen erhalten, wenn wir die bivariate Copula betrachten, die mit

über den Satz von Sklar assoziiert ist . Wenn wir die Gaußsche Kopula verwenden, dann erhalten wir

gemeinsam normal, und so ist

normalverteilt. Handelt es sich bei der Copula nicht um die Gaußsche Copula, so sind

und

als Normalen immer noch marginal verteilt, aber nicht gemeinsam normal, so dass die Summe im Allgemeinen nicht normal verteilt wird.

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

Z = X + Y

$Z = X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

— Kardinal

Antworten:

Siehe meinen Kommentar zu Wahrscheinlichkeitslogics Antwort auf diese Frage . Hier wobeidieKovarianzvonund. Niemand schreibt die nicht diagonalen Einträge in die Kovarianzmatrix mit wie Sie es getan haben. Die nicht diagonalen Einträge sind Kovarianzen, die negativ sein können.

\begin{aligned} X + Y & \sim N (μ_{X} + μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X, Y}) \\ a X + b Y & \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y}, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2} + 2 a b σ_{X, Y}) \end{aligned}

$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$

σ_{X, Y}

$\sigma_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{x y}^{2}

$\sigma_{xy}^2$

— Dilip Sarwate
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@Kodiologist Danke! Ich bin überrascht, dass die Tippfehler mehr als 4 Jahre lang unbemerkt blieben.

— Dilip Sarwate

$d$ $X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$ $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$

φ_{X} (t) = E [\exp (i t^{T} X)] = \exp (i t^{T} μ - \frac{1}{2} t^{T} Σ t)

$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$

= \exp (i \sum_{j = 1}^{d} t_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} t_{j} t_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$

$Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

φ_{Y} (t) = \exp (i t μ_{Y} - \frac{1}{2} t^{2} σ_{Y}^{2})

$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$

$Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$ $d=2$ $a_1=a_2=1$ $Z$ $X$

φ_{Z} (t) = E [\exp (i t Z)] = E [\exp (i t a^{T} X)] = φ_{X} (t a)

$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$

= \exp (i t \sum_{j = 1}^{d} a_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} t^{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} a_{j} a_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$

$\varphi_Y(t)$ $\mu_Y$ $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ $\sigma_Y^2$ $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$ $Z$ $Y$ $Z$ $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{d} a_{j}^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{d} \sum_{k = 1}^{j - 1} a_{j} a_{k} Σ_{j k}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$

$\Sigma_{jj}=var(X_j)$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$ $d=2$ $a_1=a_2=1$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} (1)^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{2} \sum_{k = 1}^{j - 1} (1) (1) Σ_{j k} = Σ_{11} + Σ_{22} + 2 Σ_{21}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$

— Wahrscheinlichkeitslogik
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+1 Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben, die Details aufzuschreiben. Kann diese Frage in die FAQ aufgenommen werden?

— Dilip Sarwate