Momentgebundene Funktion

Diese Frage ergibt sich aus der hier gestellten Frage nach gebundenen Momenterzeugungsfunktionen (MGFs).

Angenommen, ist eine begrenzte Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null, die Werte in annimmt und es sei sein MGF. Aus einer Schranke, die in einem Beweis von Höffdings Ungleichung verwendet wird , haben wir wobei die rechte Seite als MGF erkennbar ist einer normalen Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null und der Standardabweichung . Nun kann die Standardabweichung von nicht größer als , wobei der Maximalwert auftritt, wenn eine diskrete Zufallsvariable ist, so dass $X$ $[-\sigma, \sigma]$ $G(t) = E[e^{tX}]$

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Man kann sich also vorstellen, dass die angegebene Grenze besagt, dass die MGF einer mit dem Mittelwert Null begrenzten Zufallsvariablen oben durch die MGF einer normalen Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null begrenzt ist, deren Standardabweichung der maximal möglichen Standardabweichung entspricht, die kann haben.

X

$X$

X

$X$

Meine Frage ist: Ist dies ein bekanntes Ergebnis von unabhängigem Interesse, das an anderen Orten als zum Beweis der Höffdingschen Ungleichung verwendet wird, und wenn ja, ist es auch bekannt, sich auf Zufallsvariablen mit Nicht-Null-Mitteln auszudehnen?

Das Ergebnis, das diese Frage auffordert, erlaubt den asymmetrischen Bereich für mit , besteht jedoch auf . Die Schranke ist wobei ist die maximal mögliche Standardabweichung für eine Zufallsvariable mit Werten, die auf sind. Dieses Maximum wird jedoch nicht durch Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null erreicht, es sei denn, . $[a,b]$ $X$ $a < 0 < b$ $E[X] = 0$

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$

[a, b]

$[a,b]$

b = - a

$b = -a$

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
quelle

Zufallsvariablen, die die von Ihnen angegebenen mgf-Grenzen erfüllen, werden als subgaußsche Zufallsvariablen bezeichnet. Sie spielen eine zentrale Rolle, z. B. in der nichtasymptotischen Zufallsmatrixtheorie und einigen damit verbundenen Ergebnissen bei der komprimierten Wahrnehmung. Siehe zB den Link in der Antwort hier . (Dies spricht offensichtlich nicht für Ihre spezielle Frage; es ist jedoch von verwandter Natur.)

— Kardinal

Ich kann den ersten Teil Ihrer Frage nicht beantworten, aber für die Erweiterung auf Zufallsvariablen mit Nicht-Null-Mitteln ...

Zunächst ist zu beachten, dass jedes rv mit endlichem Bereich und (notwendigerweise endlichem) Mittelwert in ein rv , das natürlich mit Bereich null Mittelwert (damit erfüllst du die Bedingungen in deiner Problemstellung). Die transformierte Variable hat mgf (durch grundlegende Eigenschaften der mgf) Multiplizieren beider Seiten mit und Anwenden der Ungleichung gibt: $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Es überrascht nicht, dass die mgf einer normalen Zufallsvariablen mit demselben Mittelwert und derselben Standardabweichung gleich . $\sigma_\text{max}$

— Bogenschütze
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