Gibt es eine andere Interpretation für eine Gamma-Verteilung mit einem nicht ganzzahligen Formparameter?

Es ist bekannt, dass eine Zufallsvariable, die mit dem ganzzahligen Formparameter Gamma-verteilt ist, der Summe der Quadrate von normalverteilten Zufallsvariablen entspricht. $k$ $k$

Aber was kann ich über eine gammaverteilte Zufallsvariable mit nicht ganzzahligem sagen ? Gibt es überhaupt eine andere Interpretation als die Gamma-Verteilung? $k$

probability gamma-distribution

— Stollenm
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Gamma mit dem Formparameter

ist die Summe der Quadrate von

normalverteilten Zufallsvariablen. Gamma mit dem Formparameter

ist die Summe von

iid Exponentialverteilungen.

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker

Noch eine Interpretation des Gammas mit der ganzen Zahl

: Es ist die Wartezeit bis zur

ten Ankunft in einem eindimensionalen Poisson-Prozess mit der Intensität

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa

Wenn und unabhängig sind, dann ist Insbesondere wenn , wird es mit verteilt die gleiche Verteilung wie $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

X. + Y. \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

für alle

. (Diese Eigenschaft wird alsunendliche Teilbarkeit bezeichnet.) Dies bedeutet, dass, wenn

wenn

keine ganze Zahl ist,

die gleiche Verteilung wie

wobei

unabhängig von

und

{X.}_{1} + \dots + {X.}_{n} \sim G (α, 1) {X.}_{ich} \overset{iid}{\sim} G (α /. n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

impliziert auch, dass ganzzahlige Formen

für Gammas keine besondere Bedeutung haben.

Y. \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z. \sim G (α - - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$

α

$\alpha$

Wenn umgekehrt mit , hat es die gleiche Verteilung wie wenn unabhängig von und Und daher ist die Verteilung in $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y. \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X. \sim ({X.}^{'} + ξ) {U.}^{1 /. α} X., {X.}^{'} \sim G (α, 1) U. \sim U. (0, 1) ξ \sim E. (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Xi'an
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