Kann ich eine Entscheidung anhand eines Bayes-Faktors treffen?

Bayes-Faktoren geben an, wie gut ein bestimmtes Modell unterstützt wird. Angenommen, ich führe ein kontrolliertes Experiment durch und habe zwei Modelle: das Nullmodell und das alternative Modell.

Wenn ich einen hohen Bayes-Faktor habe, könnte ich dann argumentieren, dass die Behandlung wirksam ist, und vorschlagen, die Änderung vorzunehmen?

hypothesis-testing bayes bayes-factors

— Amöbe
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Könnten Sie näher darauf eingehen? Was genau ist Ihr Entscheidungsszenario? Welche zwei Modelle hast du? Was ist unklar an der Verwendung von Bayes-Faktoren für Sie?

— Tim

Ob ein neues Medikament hergestellt werden soll oder nicht, ist das Entscheidungsszenario. Wir wollen feststellen, ob dieses Medikament tatsächlich wirksam war.

Hinweis: Bayes-Faktoren können alarmierend empfindlich auf die Details nicht informativer Prioritäten reagieren (und für diejenigen, die nicht korrekt sind, nicht definiert sein). Das skizzierte Drogentestszenario führt jedoch auch zu einem einfacheren Inferenzproblem, das in einem einzelnen Modell festgelegt ist und dessen Parameter die Wirkung der Drogentherapie darstellen. Auf diese Weise erhalten Sie als Bonus ein glaubwürdiges Intervall für die Effektgröße.

— Conjugateprior

Ich verstehe nicht, warum jemand dafür gestimmt hat, dies als unklar zu schließen. Ich denke, es ist vollkommen klar und die Antwort lautet im Grunde ja, aber natürlich mit einigen Einschränkungen, wie z. B. von @conjugateprior (+1) hervorgehoben. Der erste Satz Ihrer Frage ("Bayes-Faktoren geben an, wie gut ein bestimmtes Modell unterstützt wird") ist jedoch falsch: Bayes-Faktoren dienen zum Vergleich zweier Modelle.

— Amöbe

Nein, es gibt keine 'Bayes'schen Schätzer' oder sogar streng genommen 'Bayes'sche Schätzer' (obwohl es Schätzer gibt, die eine Bayes'sche Motivation haben können). Andererseits gibt es eine Bayes'sche Folgerung. Aber was Sie daraus erhalten , ist kein Schätzer oder gar eine Schätzung, sondern eine gemeinsame Verteilung für alle unbekannten Größen, die in einem Modell (auch bekannt als posterior) erwähnt werden, das von den Daten abhängig ist.

— Conjugateprior

Dies ist eine ausgezeichnete und tiefe Frage.

Während traditionelle Lehrbücher (wie meine ) dazu neigen, Bayes-Faktoren als äquivalent zu posterioren Wahrscheinlichkeiten der Null- und Alternativhypothesen oder von zwei verglichenen Modellen zu fördern, was formal korrekt ist, wie im folgenden Auszug aus meiner Bayes'schen Wahl beschrieben , denke ich jetzt eher dass der Bayes - Faktor per se sollte nicht für die Entscheidungsfindung verwendet werden , sondern vielmehr als ein Maß für die relative Beweise für ein Modell im Vergleich zu den anderen. Verwenden Sie beispielsweise $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)=1$ Die Trennlinie zwischen Null und Alternative (oder zwischen Modell a und Modell b) erscheint mir nicht als natürliche Wahl. Darüber hinaus denke ich nicht, dass die von Neyman und Pearson befürwortete und später von fast allen angenommene 0: 1-Niederlage viel Sinn macht und die entscheidende Interpretation des Bayes-Faktors unterstützt.

Meine derzeitige Perspektive auf den Bayes-Faktor ist eher ein vorheriger oder hinterer Vorhersagemodus, bei dem das Verhalten von unter beiden Modellen bewertet wird, um den beobachteten Wert zu kalibrieren gegen vorherige oder hintere Verteilungen von . Dies bringt uns von der Entscheidungsperspektive weg. $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x)$

[Aus The Bayesian Choice , 2007, Abschnitt 5.2.2, Seite 227]

Aus entscheidungstheoretischer Sicht ist der Bayes-Faktor nur eine Eins-zu-Eins-Transformation der posterioren Wahrscheinlichkeit, aber dieser Begriff wurde in Bayes'schen Tests aus eigener Kraft betrachtet.

Der Bayes-Faktor ist das Verhältnis der hinteren Wahrscheinlichkeiten der Null und der alternativen Hypothese zum Verhältnis der vorherigen Wahrscheinlichkeiten der Null und der alternativen Hypothese, dh
$B_{01}^{π} (x) = \frac{P (θ \in Θ_{0} ∣ x)}{P (θ \in Θ_{1} ∣ x)} / \frac{π (θ \in Θ_{0})}{π (θ \in Θ_{1})} .$ $\mathfrak{B}^\pi_{01}(x) = {\mathbb{P}(\theta \in \Theta_ 0\mid x) \over \mathbb{P}(\theta \in \Theta_1\mid x)} \bigg/ {\pi(\theta \in \Theta_ 0) \over \pi(\theta \in \Theta_ 1)}.$
Dieses Verhältnis bewertet die Modifikation der Wahrscheinlichkeit von gegen aufgrund der Beobachtung (en) und kann natürlich mit verglichen werden , obwohl eine genaue Vergleichsskala nur auf einer Verlustfunktion basieren kann. $\Theta_0$ $\Theta_1$ $1$

Der Bayes-Faktor ist aus Bayes'scher entscheidungstheoretischer Sicht vollständig äquivalent zur posterioren Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese, da akzeptiert wird, wenn wobei $H_0$
$B_{01}^{π} (x) \geq \frac{a_{1}}{a_{0}} / \frac{ρ_{0}}{ρ_{1}} = \frac{a_{1} ρ_{1}}{a_{0} ρ_{0}},$ $B^\pi_{01} (x) \ge {a_1\over a_0} \big/ {\rho_0 \over \rho_1} = {a_1\rho_1 \over a_0\rho_0},$ $\begin{aligned} ρ_{0} & = π (θ \in Θ_{0}) and \\ ρ_{1} & = π (θ \in Θ_{1}) \\ = 1 - ρ_{0} . \end{aligned}$ $\begin{align*} \rho_0 &= \pi(\theta\in\Theta_0) \quad \hbox{ and } \nonumber\\ \rho_1 &= \pi(\theta\in\Theta_1)\\ &=1-\rho_0. \end{align*}$

und wobei und die Strafen für die falsche Auswahl der Alternativ- und Nullhypothesen oder der Modelle und . jeweils in der Neyman-Pearson-Formulierung: $a_0$ $a_1$ $\mathfrak{M}_0$ $\mathfrak{M}_1$

L (θ, φ) = {\begin{cases} 0 & if φ = I_{Θ_{0}} (θ), \\ a_{0} & if θ \in Θ_{0} and φ = 0, \\ a_{1} & if θ \notin Θ_{0} and φ = 1, \end{cases}

$\mathfrak{L}(\theta, \varphi) = \begin{cases} 0 &\text{if $\varphi=\mathbb{I}_{\Theta_0}(\theta)$,} \cr a_0 &\text{if $\theta\in\Theta_0$ and $\varphi=0$,} \cr a_1 &\text{if $\theta\not\in\Theta_0$ and $\varphi=1$,}\cr\end{cases}$

— Xi'an
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(+1) Vielleicht sollten Sie hinzufügen, dass und die Strafen sind, die mit Fehlern verbunden sind, wenn die Null wahr oder falsch ist.

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

— Peuhp

Erstaunliche Antwort Xi'an. Vielen Dank für die Antwort, ich weiß das wirklich zu schätzen.

+1. Ich habe das Zitat aus Ihrem Lehrbuch als Zitat formatiert - entschuldigen Sie, wenn Sie es aus irgendeinem Grund nicht so haben wollten (zögern Sie nicht, meine Bearbeitung zurückzusetzen). Ich habe auch die Wörter "Panayiota Touloupou" entfernt, die während der letzten Überarbeitung irgendwie in die Definition eingegangen sind.

— Amöbe